無理數的定義 和有理數有什么區別

無理數是一種特殊的數學概念，指的是無限不循環的小數。這個概念最初由希臘數學家兼哲學家柏拉圖提出，他用這個名字來表示“不可公度的比值”，即不能用整數或普通分數表示的比值。無理數的發現被認為是一場數學革命，因為它打破了人們對于數字和幾何的舊有認識，揭示了數學中一些基本概念的局限性。

無理數的定義

無理數的定義有無理數也稱為無限不循環小數，是不能寫作兩個整數之比的實數。無理數的小數表示具有無限多個不重復的數字，且沒有循環模式，這意味著它們不能被寫成分數的形式。常見的無理數包括非完全平方數的平方根、圓周率π和自然對數的底e。無理數是實數集R中有理數集Q的補集，因此其集合符號通常表示為CrQ。

無理數和有理數有什么區別

無理數和有理數主要有以下幾種區別：概念不同。有理數包括所有的整數和分數，是有限小數或無限循環小數；無理數不能表示為兩個整數的比例，是無限不循環的小數。

性質不同。有理數可以表示為兩個整數的比例，例如3/8；無理數不能表示為兩個整數之比，例如圓周率。

范圍不同。有理數集是整數集的擴張，在有理數集內，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）四種運算均可進行；無理數是實數范圍內不能表示成兩個整數之比的數。

表達方式不同。有理數可以用分數表達；無理數則不能用分數表達。

無理數的三個特征

無理數的三個特征分別是：無理數是小數：這意味著無理數可以表示為小數形式。

無理數是無限小數：這表明無理數的小數點后的數字是無限的，不會終止。

無理數是不循環小數：這意味著無理數的小數部分不會出現循環模式，即每一位數字都是獨一無二的，不會重復出現。

綜上所述，無理數可以精確地定義為無限不循環小數，是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數。