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    1/(1+x)的泰勒展開式

    2023-09-07 10:36:28文/陳宇航

    1/(1+x)=1/[1-(-x)]=1-x+x^2-x^(-3)+...=sum{(-1)^k*x^k,k=0..infinity}。函數的泰勒展開式要以某點為中心展開,若以原點(x=0)為中心展開,為泰勒級數的特殊形式麥克勞林公式,若沒有考慮x=x0,x0為任意值,不算完整解答該函數泰勒展開式。

    1/(1+x)的泰勒展開式

    幾何意義:

    泰勒公式的幾何意義是利用多項式函數來逼近原函數,由于多項式函數可以任意次求導,易于計算,且便于求解極值或者判斷函數的性質,因此可以通過泰勒公式獲取函數的信息,同時,對于這種近似,必須提供誤差分析,來提供近似的可靠性。

    泰勒公式的余項有兩類:一類是定性的皮亞諾余項,另一類是定量的拉格朗日余項。這兩類余項本質相同,但是作用不同。

    一般來說,當不需要定量討論余項時,可用皮亞諾余項(如求未定式極限及估計無窮小階數等問題);當需要定量討論余項時,要用拉格朗日余項(如利用泰勒公式近似計算函數值)

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