完全平方數(shù)是什么

完全平方指用一個(gè)整數(shù)乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此類推。若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式，則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)。完全平方數(shù)是非負(fù)數(shù)，而一個(gè)完全平方數(shù)的項(xiàng)有兩個(gè)。注意不要與完全平方式所混淆。

完全平方數(shù)是什么

（1）個(gè)位數(shù)是2、3、7、8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

（2）個(gè)位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

（3）個(gè)位數(shù)是6，十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

（4）形如3n＋2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

（5）形如4n＋2和4n＋3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

（6）形如5n±2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

（7）形如8n＋2，8n＋3，8n＋5，8n＋6，8n＋7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

（8）數(shù)字和是2、3、5、6、8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

（9）四平方和定理：每個(gè)正整數(shù)均可表示為4個(gè)整數(shù)的平方和；

（10）完全平方數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)。

完全平方數(shù)討論題事例

（1986年第27屆IMO試題） 設(shè)正整數(shù)d不等于2,5,13，求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個(gè)不同的元素a,b，使得ab -1不是完全平方數(shù)。解：顯然2*5-1=9 2*13-1=25 5*13-1=64都為完全平方數(shù)假設(shè)2d-1為完全平方數(shù),注意到d為正整數(shù),2d-1為奇數(shù) 不妨設(shè)2d-1=(2n-1)^2 得 d=2n^2-2n+1此時(shí)5d-1=10n^2-10n+4不是完全平方數(shù)同理 假設(shè)5d-1 13d-1 為完全平方數(shù) 可以分d為奇偶去證明.

求k的最大值，使2010可以表示為k個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和。解：假設(shè)這k個(gè)數(shù)為 a,a+1,a+2,...,a+(k-1)它們的和為 ka+k(k-1)/2=2010k(k+2a-1)=2*2010=2^2*5*3*67=60*67顯然k最大只能是60,此時(shí)a=4