角平分線性質(zhì)定理及證明方法

三角形其中一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。接下來(lái)分享角平分線性質(zhì)定理及證明方法。

角平分線的性質(zhì)定理

1.角平分線可以得到兩個(gè)相等的角。

2.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

3.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，稱作三角形內(nèi)心。三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。

4.三角形一個(gè)角的平分線，這個(gè)角平分線其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例。

證明方法

1.角平分線線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

若射線AD是∠CAB的角平分線，求證：CD=BD

∵∠DCA=∠DBA

∠CAD=∠BAD

AD=AD

∴△ACD≌△ABD

∴CD=BD

2.三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所成的兩條線段，和兩條鄰邊成比例

在三角形ABC中，當(dāng)AD是頂角A的角平分線交底邊于D時(shí)，BD/CD=AB/AC。

證明：

如圖，AD為△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D向邊AB,AC分別引垂線DE,DF.則DE=DF。

S△ABD：S△ACD=BD/CD

又因?yàn)镾△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC

所以BD/CD=AB/AC。