兩個向量共線就是兩個向量平行。簡言之,共線向量就是平行向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量,表示為a∥b,任意一組平行向量都可移到同一直線上,所以稱為共線向量。
如果a≠0,那么向量b與a共線的充要條件是:存在唯一實數(shù)λ,使得b=λa。
1.充分性:對于向量a(a≠0)、b,如果有一個實數(shù)λ,使b=λa,那么由實數(shù)與向量的積的定義知,向量a與b共線。
2.必要性:已知向量a與b共線,a≠0,且向量b的長度是向量a的長度的m倍,即∣b∣=m∣a∣。那么當向量a與b同方向時,令λ=m,有b=λa,當向量a與b反方向時,令λ=-m,有b=λa。如果b=0,那么λ=0。
3.唯一性:如果b=λa=μa,那么(λ-μ)a=0。但因a≠0,所以λ=μ。
要證明兩個向量共線,只須證明它們之間有一個倍數(shù)關(guān)系即可。
例:已知e1、e2是不共線的單位向量,向量a=e1+2e2,b=-2e1+e2,c=4e1+3e2,求證明:a與b+c共線。
證明:∵b+c=(-2e1+e2)+(4e1+3e2)=2e1+4e2=2(e1+2e2)=2a ∴a與b+c共線。
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