三角形中位線定理和逆定理

三角形中位線定理是三角形的中位線平行于第三邊（不與中位線接觸），并且等于第三邊的一半。下面整理了三角形中位線定理和逆定理，供大家參考。

三角形中位線定理

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊（不與中位線接觸），并且等于第三邊的一半。

證明：已知△ABC中，D，E分別是AB，AC兩邊中點。求證DE平行于BC且等于BC/2

過C作AB的平行線交DE的延長線于G點。

∵CG∥AD

∴∠A=∠ACG

∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括號）

∴△ADE≌△CGE （A.S.A)

∴AD=CG(全等三角形對應邊相等)

∵D為AB中點

∴AD=BD

∴BD=CG

又∵BD∥CG

∴BCGD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

∴DG∥BC且DG=BC

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位線定理成立

逆定理

逆定理一：在三角形內，與三角形的兩邊相交，平行且等于三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線。

證明：∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2

∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中點，E是AC中點。

逆定理二：在三角形內，經過三角形一邊的中點，且與另一邊平行的線段，是三角形的中位線

證明：取AC中點E'，連接DE'，則有

AD=BD，AE'=CE'

∴DE'是三角形ABC的中位線

∴DE'∥BC

又∵DE∥BC

∴DE和DE'重合（過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行）

∴E是中點，DE=BC/2

注意：在三角形內部，經過一邊中點，且等于第三邊一半的線段不一定是三角形的中位線。