二項(xiàng)式系數(shù)怎么算

二項(xiàng)式系數(shù)或組合數(shù),是定義為形如(1 + x)的二項(xiàng)式n次冪展開后x的系數(shù)，其中n為自然數(shù),k為整數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)符合等式可以由其公式證出，也可以從其在組合數(shù)學(xué)的意義推導(dǎo)出來。

二次項(xiàng)系數(shù)怎么算

在數(shù)學(xué)里,二項(xiàng)式系數(shù)或組合數(shù),是定義為形如(1 + x)的二項(xiàng)式n次冪展開后x的系數(shù)（其中n為自然數(shù),k為整數(shù)），從定義可看出二項(xiàng)式系數(shù)的值為整數(shù)。

廣義二項(xiàng)式定理把這結(jié)果推廣至負(fù)數(shù)或非整數(shù)次冪,此時(shí)右式則不再是多項(xiàng)式,而是無窮級(jí)數(shù)。二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)組合數(shù)學(xué)很重要，因它的意義是從n件物件中，不分先后地選取k件的方法總數(shù)，因此也叫做組合數(shù)。從定義出發(fā)，把n個(gè)(1+x)項(xiàng)的乘積展開，其中任意k項(xiàng)的x和n?k項(xiàng)的1相乘得出一個(gè)x，故此x的系數(shù)是從n個(gè)選取k個(gè)的方法總數(shù)。把各項(xiàng)的x標(biāo)記可以更清楚看出：當(dāng)n=4, k=2時(shí)，(1 + x1)(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4) = ... + x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 + ...,所以x的系數(shù)6等于從4項(xiàng)物件選取2項(xiàng)的方法總數(shù)。

二項(xiàng)式系數(shù)符合等式可以由其公式證出，也可以從其在組合數(shù)學(xué)的意義推導(dǎo)出來。如第一式左項(xiàng)表示從n+1件選取k件的方法數(shù)，這些方法可分為沒有選取第n+1件，即是從其余n件選取k件；和有選取第n+1件，即是從其余n件選取k?1件。而第二式則是每個(gè)從n件選取k件的方法，也可看為選取其余n?k件的方法。

二項(xiàng)式定理的定義

二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓于1664年、1665年間提出。該定理給出兩個(gè)數(shù)之和的整數(shù)次冪諸如展開為類似項(xiàng)之和的恒等式。二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理。