2017年荊州市中考數學試題（含答案）

2017年荊州市中考數學試題

一、2017年荊州市中考數學試題選擇題（本大題共10小題，每小題只有唯一正確答案，每小題3分，共30分）

1．下列實數中最大的數是（）

A．3????????????? B．0????????????? C．????????????? D．﹣4

2．中國企業2016年已經在“一帶一路”沿線國家建立了56個經貿合作區，直接為東道國增加了180 000個就業崗位．將180 000用科學記數法表示應為（）

A．18×104????????????? B．1.8×105????????????? C．1.8×106????????????? D．18×105

3．一把直尺和一塊三角板ABC（含30°、60°角）擺放位置如圖所示，直尺一邊與三角板的兩直角邊分別交于點D、點E，另一邊與三角板的兩直角邊分別交于點F、點A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小為（）

A．40°????????????? B．45°????????????? C．50°????????????? D．10°

4．為了解某班學生雙休戶外活動情況，對部分學生參加戶外活動的時間進行抽樣調查，結果如下表：

則關于“戶外活動時間”這組數據的眾數、中位數、平均數分別是（）

A．3、3、3????????????? B．6、2、3????????????? C．3、3、2????????????? D．3、2、3

5．下列根式是最簡二次根式的是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分線l交AC于點D，則∠CBD的度數為（）

A．30°????????????? B．45°????????????? C．50°????????????? D．75°

7．為配合荊州市“我讀書，我快樂”讀書節活動，某書店推出一種優惠卡，每張卡售價20元，憑卡購書可享受8折優惠．小慧同學到該書店購書，她先買優惠卡再憑卡付款，結果節省了10元．若此次小慧同學不買卡直接購書，則她需付款多少元？（）

A．140元????????????? B．150元????????????? C．160元????????????? D．200元

8．《九章算術》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一陣風將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）

A．x2﹣6=（10﹣x）2????????????? B．x2﹣62=（10﹣x）2????????????? C．x2+6=（10﹣x）2????????????? D．x2+62=（10﹣x）2

9．如圖是某幾何體的三視圖，根據圖中的數據，求得該幾何體的體積為（）

A．800π+1200????????????? B．160π+1700????????????? C．3200π+1200????????????? D．800π+3000

10．規定：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根是另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．現有下列結論：

①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；

②若關于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，則a=±3；

③若關于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，則拋物線y=ax2﹣6ax+c與x軸的公共點的坐標是（2，0）和（4，0）；

④若點（m，n）在反比例函數y=的圖象上，則關于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．

上述結論中正確的有（）

A．①②????????????? B．③④????????????? C．②③????????????? D．②④

二、2017年荊州市中考數學試題填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

11．化簡（π﹣3.14）0+|1﹣2|﹣+（）﹣1的結果是?? ．

12．若單項式﹣5x4y2m+n與2017xm﹣ny2是同類項，則m﹣7n的算術平方根是?? ．

13．若關于x的分式方程=2的解為負數，則k的取值范圍為?? ．

14．觀察下列圖形：它們是按一定規律排列的，依照此規律，第9個圖形中共有?? 個點．

15．將直線y=x+b沿y軸向下平移3個單位長度，點A（﹣1，2）關于y軸的對稱點落在平移后的直線上，則b的值為?? ．

16．如圖，A、B、C是⊙O上的三點，且四邊形OABC是菱形．若點D是圓上異于A、B、C的另一點，則∠ADC的度數是?? ．

17．如圖，在5×5的正方形網格中有一條線段AB，點A與點B均在格點上．請在這個網格中作線段AB的垂直平分線．要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作圖痕跡．

18．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸的負半軸、y軸的正半軸上，點B在第二象限．將矩形OABC繞點O順時針旋轉，使點B落在y軸上，得到矩形ODEF，BC與OD相交于點M．若經過點M的反比例函數y=（x＜0）的圖象交AB于點N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=，則BN的長為?? ．

三、2017年荊州市中考數學試題解答題（本大題共7小題，共66分）[來源:學科網]

19．（1）解方程組：

（2）先化簡，再求值：﹣÷，其中x=2．

20．如圖，在矩形ABCD中，連接對角線AC、BD，將△ABC沿BC方向平移，使點B移到點C，得到△DCE．

（1）求證：△ACD≌△EDC；

（2）請探究△BDE的形狀，并說明理由．

21．某校為了解本校九年級學生足球訓練情況，隨機抽查該年級若干名學生進行測試，然后把測試結果分為4個等級：A、B、C、D，并將統計結果繪制成兩幅不完整的統計圖．請根據圖中的信息解答下列問題：

（1）補全條形統計圖

（2）該年級共有700人，估計該年級足球測試成績為D等的人數為?? 人；

（3）在此次測試中，有甲、乙、丙、丁四個班的學生表現突出，現決定從這四個班中隨機選取兩個班在全校舉行一場足球友誼賽．請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選到甲、乙兩個班的概率．www.ccutu.com

22．如圖，某數學活動小組為測量學校旗桿AB的高度，沿旗桿正前方2米處的點C出發，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前進4米到達點D，在點D處安置測角儀，測得旗桿頂部A的仰角為37°，量得儀器的高DE為1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面內，AB⊥BC，AB∥DE．求旗桿AB的高度．（參考數據：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．計算結果保留根號）

23．已知關于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k為常數．

（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根；

（2）已知函數y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的圖象不經過第三象限，求k的取值范圍；

（3）若原方程的一個根大于3，另一個根小于3，求k的最大整數值．

24．荊州市某水產養殖戶進行小龍蝦養殖．已知每千克小龍蝦養殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p（元/千克）與時間第t（天）之間的函數關系為：

，日銷售量y（千克）與時間第t（天）之間的函數關系如圖所示：

（1）求日銷售量y與時間t的函數關系式？

（2）哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？

（3）該養殖戶有多少天日銷售利潤不低于2400元？

（4）在實際銷售的前40天中，該養殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈m（m＜7）元給村里的特困戶．在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求m的取值范圍．

25．如圖在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點P、Q同時從點A出發，運動時間為t秒．其中點P沿射線AB運動，速度為每秒4個單位長度，點Q沿射線AO運動，速度為每秒5個單位長度．以點Q為圓心，PQ長為半徑作⊙Q．

（1）求證：直線AB是⊙Q的切線；

（2）過點A左側x軸上的任意一點C（m，0），作直線AB的垂線CM，垂足為M．若CM與⊙Q相切于點D，求m與t的函數關系式（不需寫出自變量的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，是否存在點C，直線AB、CM、y軸與⊙Q同時相切？若存在，請直接寫出此時點C的坐標；若不存在，請說明理由．

2017年荊州市中考數學試題參考答案及解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題只有唯一正確答案，每小題3分，共30分）

1．下列實數中最大的數是（）

A．3????????????? B．0????????????? C．????????????? D．﹣4

【考點】2A：實數大小比較．

【分析】將各數按照從大到小順序排列，找出最大數即可．

【解答】解：各數排列得：3＞＞0＞﹣4，

則實數找最大的數是3，

故選A

2．中國企業2016年已經在“一帶一路”沿線國家建立了56個經貿合作區，直接為東道國增加了180 000個就業崗位．將180 000用科學記數法表示應為（）

A．18×104????????????? B．1.8×105????????????? C．1.8×106????????????? D．18×105

【考點】1I：科學記數法—表示較大的數．

【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數，據此判斷即可．

【解答】解：180000=1.8×105．

故選：B．

3．一把直尺和一塊三角板ABC（含30°、60°角）擺放位置如圖所示，直尺一邊與三角板的兩直角邊分別交于點D、點E，另一邊與三角板的兩直角邊分別交于點F、點A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小為（）

A．40°????????????? B．45°????????????? C．50°????????????? D．10°

【考點】JA：平行線的性質．

【分析】先根據∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根據DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根據∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大?。?/p>

【解答】解：由圖可得，∠CDE=40°，∠C=90°，

∴∠CED=50°，

又∵DE∥AF，

∴∠CAF=50°，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAF=60°﹣50°=10°，

故選：D．

4．為了解某班學生雙休戶外活動情況，對部分學生參加戶外活動的時間進行抽樣調查，結果如下表：

則關于“戶外活動時間”這組數據的眾數、中位數、平均數分別是（）

A．3、3、3????????????? B．6、2、3????????????? C．3、3、2????????????? D．3、2、3

【考點】W5：眾數；W2：加權平均數；W4：中位數．

【分析】根據中位數、平均數和眾數的概念求解即可．

【解答】解：∵共10人，

∴中位數為第5和第6人的平均數，

∴中位數=（3+3）÷3=5；

平均數=（1×2+2×2+3×4+6×2）÷10=3；

眾數是一組數據中出現次數最多的數據，所以眾數為3；

故選A．

5．下列根式是最簡二次根式的是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】74：最簡二次根式．

【分析】根據最簡二次根式是被開方數不含分母，被開方數不含開的盡的因數或因式，可得答案．

【解答】解：A、該二次根式的被開方數中含有分母，不是最簡二次根式，故本選項錯誤；

B、該二次根式的被開方數中含有小數，不是最簡二次根式，故本選項錯誤；

C、該二次根式符合最簡二次根式的定義，故本選項正確；

D、20=22×5，該二次根式的被開方數中含開的盡的因數，不是最簡二次根式，故本選項錯誤；

故選：C．

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分線l交AC于點D，則∠CBD的度數為（）

A．30°????????????? B．45°????????????? C．50°????????????? D．75°

【考點】KH：等腰三角形的性質；KG：線段垂直平分線的性質．

【分析】根據三角形的內角和定理，求出∠C，再根據線段垂直平分線的性質，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性質求出∠BDC的度數，從而得出∠CBD=45°．

【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，

∴∠ABC=∠ACB=75°，

∵AB的垂直平分線交AC于D，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD=30°，

∴∠BDC=60°，

∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．

故選B．

7．為配合荊州市“我讀書，我快樂”讀書節活動，某書店推出一種優惠卡，每張卡售價20元，憑卡購書可享受8折優惠．小慧同學到該書店購書，她先買優惠卡再憑卡付款，結果節省了10元．若此次小慧同學不買卡直接購書，則她需付款多少元？（）

A．140元????????????? B．150元????????????? C．160元????????????? D．200元

【考點】8A：一元一次方程的應用．

【分析】此題的關鍵描述：“先買優惠卡再憑卡付款，結果節省了人民幣10元”，設出未知數，根據題中的關鍵描述語列出方程求解．

【解答】解：設李明同學此次購書的總價值是人民幣是x元，

則有：20+0.8x=x﹣10

解得：x=150

即：小慧同學不憑卡購書的書價為150元．

故選：B．

8．《九章算術》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一陣風將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）

A．x2﹣6=（10﹣x）2????????????? B．x2﹣62=（10﹣x）2????????????? C．x2+6=（10﹣x）2????????????? D．x2+62=（10﹣x）2

【考點】KU：勾股定理的應用．

【分析】根據題意畫出圖形，設折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．

【解答】解：如圖，設折斷處離地面的高度為x尺，則AB=10﹣x，BC=6，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10﹣x）2．

故選D．

9．如圖是某幾何體的三視圖，根據圖中的數據，求得該幾何體的體積為（）

A．800π+1200????????????? B．160π+1700????????????? C．3200π+1200????????????? D．800π+3000

【考點】U3：由三視圖判斷幾何體．

【分析】根據給出的幾何體的三視圖可知幾何體是由一個圓柱和一個長方體組成，從而利用三視圖中的數據，根據體積公式計算即可．

【解答】解：由三視圖可知，幾何體是由一個圓柱和一個長方體組成，

圓柱底面直徑為20，高為8，長方體的長為30，寬為20，高為5，

故該幾何體的體積為：π×102×8+30×20×5=800π+3000，

故選：D．

10．規定：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根是另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．現有下列結論：

①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；

②若關于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，則a=±3；

③若關于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，則拋物線y=ax2﹣6ax+c與x軸的公共點的坐標是（2，0）和（4，0）；

④若點（m，n）在反比例函數y=的圖象上，則關于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．

上述結論中正確的有（）

A．①②????????????? B．③④????????????? C．②③????????????? D．②④

【考點】G6：反比例函數圖象上點的坐標特征；AA：根的判別式；AB：根與系數的關系；HA：拋物線與x軸的交點．

【分析】①通過解方程得到該方程的根，結合“倍根方程”的定義進行判斷；

②設x2=2x1，得到x1?x2=2x12=2，得到當x1=1時，x2=2，當x1=﹣1時，x2=﹣2，于是得到結論；

③根據“倍根方程”的定義即可得到結論；

④若點（m，n）在反比例函數y=的圖象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正確的結論；

【解答】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得

（x﹣4）（x+2）=0，

解得x1=4，x2=﹣2，

∵x1≠2x2，或x2≠2x1，

∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．

故①錯誤；

②關于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，

∴設x2=2x1，

∴x1?x2=2x12=2，

∴x1=±1，

當x1=1時，x2=2，

當x1=﹣1時，x2=﹣2，

∴x1+x2=﹣a=±3，

∴a=±3，故②正確；

③關于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，

∴x2=2x1，

∵拋物線y=ax2﹣6ax+c的對稱軸是直線x=3，

∴拋物線y=ax2﹣6ax+c與x軸的交點的坐標是（2，0）和（4，0），

故③正確；

④∵點（m，n）在反比例函數y=的圖象上，

∴mn=4，

解mx2+5x+n=0得x1=﹣，x2=﹣，

∴x2=4x1，

∴關于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；

故選C．

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

11．化簡（π﹣3.14）0+|1﹣2|﹣+（）﹣1的結果是2．

【考點】2C：實數的運算；6E：零指數冪；6F：負整數指數冪．

【分析】原式利用零指數冪、負整數指數冪法則，絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果．

【解答】解：原式=1+2﹣1﹣2+2=2，

故答案為：2

12．若單項式﹣5x4y2m+n與2017xm﹣ny2是同類項，則m﹣7n的算術平方根是4．

【考點】22：算術平方根；34：同類項；98：解二元一次方程組．

【分析】根據同類項定義可以得到關于m、n的二元一次方程，即可求得m、n的值即可解題．

【解答】解：∵單項式﹣5x4y2m+n與2017xm﹣ny2是同類項，

∴4=m﹣n，2m+n=2，

解得：m=2，n=﹣2，

∴m﹣7n=16，

∴m﹣7n的算術平方根==4，

故答案為 4．

13．若關于x的分式方程=2的解為負數，則k的取值范圍為k＜3且k≠1．

【考點】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，表示出整式方程的解，根據解為負數確定出k的范圍即可．

【解答】解：去分母得：k﹣1=2x+2，

解得：x=，

由分式方程的解為負數，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，

解得：k＜3且k≠1，[來源:chusan.Com]

故答案為：k＜3且k≠1

14．觀察下列圖形：它們是按一定規律排列的，依照此規律，第9個圖形中共有135個點．

【考點】38：規律型：圖形的變化類．

【分析】仔細觀察圖形，找到圖形變化的規律的通項公式，然后代入9求解即可．

【解答】解：第一個圖形有3=3×1=3個點，

第二個圖形有3+6=3×（1+2）=9個點；

第三個圖形有3+6+9=3×（1+2+3）=18個點；

…

第n個圖形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=個點；

當n=9時， =135個點，

故答案為：135．

15．將直線y=x+b沿y軸向下平移3個單位長度，點A（﹣1，2）關于y軸的對稱點落在平移后的直線上，則b的值為4．

【考點】F9：一次函數圖象與幾何變換．

【分析】先根據一次函數平移規律得出直線y=x+b沿y軸向下平移3個單位長度后的直線解析式，再把點A（﹣1，2）關于y軸的對稱點（1，2）代入，即可求出b的值．

【解答】解：將直線y=x+b沿y軸向下平移3個單位長度，得直線y=x+b﹣3．

∵點A（﹣1，2）關于y軸的對稱點是（1，2），

∴把點（1，2）代入y=x+b﹣3，得1+b﹣3=2，

解得b=4．

故答案為4．

16．如圖，A、B、C是⊙O上的三點，且四邊形OABC是菱形．若點D是圓上異于A、B、C的另一點，則∠ADC的度數是60°或120°．

【考點】M6：圓內接四邊形的性質；L8：菱形的性質；M5：圓周角定理．

【分析】連接OB，則AB=OA=OB故可得出△AOB是等邊三角形，所以∠ADC=60°，∠AD′C=120°，據此可得出結論．

【解答】解：連接OB，

∵四邊形OABC是菱形，

∴AB=OA=OB=BC，

∴△AOB是等邊三角形，

∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．

故答案為：60°或120°．

17．如圖，在5×5的正方形網格中有一條線段AB，點A與點B均在格點上．請在這個網格中作線段AB的垂直平分線．要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作圖痕跡．

【考點】N4：作圖—應用與設計作圖；KG：線段垂直平分線的性質．

【分析】以AB為邊作正方形ABCD，正方形ABEF，連接AC，BD交于O，連接AE，BF交于O′，過O，O′作直線OO′于是得到結論．

【解答】解：如圖所示，直線OO′即為所求．

18．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸的負半軸、y軸的正半軸上，點B在第二象限．將矩形OABC繞點O順時針旋轉，使點B落在y軸上，得到矩形ODEF，BC與OD相交于點M．若經過點M的反比例函數y=（x＜0）的圖象交AB于點N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=，則BN的長為3．

【考點】R7：坐標與圖形變化﹣旋轉；G5：反比例函數系數k的幾何意義；T7：解直角三角形．

【分析】利用矩形的面積公式得到AB?BC=32，再根據旋轉的性質得AB=DE，OD=OA，接著利用正切的定義得到an∠DOE==，所以DE?2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同樣在Rt△OCM中利用正切定義得到MC=2，則M（﹣2，4），易得反比例函數解析式為y=﹣，然后確定N點坐標，最后計算BN的長．

【解答】解：∵S矩形OABC=32，

∴AB?BC=32，

∵矩形OABC繞點O順時針旋轉，使點B落在y軸上，得到矩形ODEF，

∴AB=DE，OD=OA，

在Rt△ODE中，tan∠DOE==，即OD=2DE，

∴DE?2DE=32，解得DE=4，

∴AB=4，OA=8，

在Rt△OCM中，∵tan∠COM==，

而OC=AB=4，

∴MC=2，

∴M（﹣2，4），

把M（﹣2，4）代入y=得k=﹣2×4=﹣8，

∴反比例函數解析式為y=﹣，

當x=﹣8時，y=﹣=1，則N（﹣8，1），

∴BN=4﹣1=3．

故答案為3．

三、解答題（本大題共7小題，共66分）

19．（1）解方程組：

（2）先化簡，再求值：﹣÷，其中x=2．

【考點】6D：分式的化簡求值；98：解二元一次方程組．

【分析】（1）根據代入消元法可以解答此方程；

（2）根據分式的除法和減法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．

【解答】解：（1）

將①代入②，得

3x+2（2x﹣3）=8，

解得，x=2，

將x=2代入①，得

y=1，

故原方程組的解是；

（2）﹣÷

=

=

=，

當x=2時，原式=．

20．如圖，在矩形ABCD中，連接對角線AC、BD，將△ABC沿BC方向平移，使點B移到點C，得到△DCE．

（1）求證：△ACD≌△EDC；

（2）請探究△BDE的形狀，并說明理由．

【考點】LB：矩形的性質；KD：全等三角形的判定與性質；Q2：平移的性質．

【分析】（1）由矩形的性質得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性質得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出結論；

（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，[來源:學科網chusan]

∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，

由平移的性質得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，

∴AD=EC，

在△ACD和△EDC中，，

∴△ACD≌△EDC（SAS）；

（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：

∵AC=BD，DE=AC，

∴BD=DE，

∴△BDE是等腰三角形．

21．某校為了解本校九年級學生足球訓練情況，隨機抽查該年級若干名學生進行測試，然后把測試結果分為4個等級：A、B、C、D，并將統計結果繪制成兩幅不完整的統計圖．請根據圖中的信息解答下列問題：

（1）補全條形統計圖

（2）該年級共有700人，估計該年級足球測試成績為D等的人數為56人；

（3）在此次測試中，有甲、乙、丙、丁四個班的學生表現突出，現決定從這四個班中隨機選取兩個班在全校舉行一場足球友誼賽．請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選到甲、乙兩個班的概率．

【考點】X6：列表法與樹狀圖法；V5：用樣本估計總體；VB：扇形統計圖；VC：條形統計圖．

【分析】（1）根據A等學生人數除以它所占的百分比求得總人數，然后乘以B等所占的百分比求得B等人數，從而補全條形圖；

（2）用該年級學生總數乘以足球測試成績為D等的人數所占百分比即可求解；

（3）利用樹狀圖法，將所有等可能的結果列舉出來，利用概率公式求解即可．

【解答】解：（1）總人數為14÷28%=50人，

B等人數為50×40%=20人．

條形圖補充如下：

（2）該年級足球測試成績為D等的人數為700×=56（人）．

故答案為56；

（3）畫樹狀圖：

共有12種等可能的結果數，其中選取的兩個班恰好是甲、乙兩個班的情況占2種，

所以恰好選到甲、乙兩個班的概率是=．

22．如圖，某數學活動小組為測量學校旗桿AB的高度，沿旗桿正前方2米處的點C出發，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前進4米到達點D，在點D處安置測角儀，測得旗桿頂部A的仰角為37°，量得儀器的高DE為1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面內，AB⊥BC，AB∥DE．求旗桿AB的高度．（參考數據：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．計算結果保留根號）

【考點】TA：解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題；T9：解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．

【分析】延長ED交BC延長線于點F，則∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=2、DF=CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=4?tan37°可得答案．

【解答】解：如圖，延長ED交BC延長線于點F，則∠CFD=90°，

∵tan∠DCF=i==，

∴∠DCF=30°，

∵CD=4，

∴DF=CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×=2，

∴BF=BC+CF=2+2=4，

過點E作EG⊥AB于點G，

則GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，

又∵∠AED=37°，

∴AG=GEtan∠AEG=4?tan37°，

則AB=AG+BG=4?tan37°+3.5=3+3.5，

故旗桿AB的高度為（3+3.5）米．

23．已知關于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k為常數．

（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根；

（2）已知函數y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的圖象不經過第三象限，求k的取值范圍；

（3）若原方程的一個根大于3，另一個根小于3，求k的最大整數值．

【考點】HA：拋物線與x軸的交點；AA：根的判別式；AB：根與系數的關系；H3：二次函數的性質．

【分析】（1）求出方程的判別式△的值，利用配方法得出△＞0，根據判別式的意義即可證明；

（2）由于二次函數y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的圖象不經過第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以拋物線的頂點在x軸的下方經過一、二、四象限，根據二次項系數知道拋物線開口向上，由此可以得出關于k的不等式組，解不等式組即可求解；

（3）設方程的兩個根分別是x1，x2，根據題意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根據一元二次方程根與系數的關系求得k的取值范圍，再進一步求出k的最大整數值．

【解答】（1）證明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，

∴無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根；

（2）解：∵二次函數y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的圖象不經過第三象限，

∵二次項系數a=1，

∴拋物線開口方向向上，

∵△=（k﹣3）2+12＞0，

∴拋物線與x軸有兩個交點，

設拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為x1，x2，

∴x1+x2=5﹣k＞0，x1?x2=1﹣k＞0，

解得k＜1，

即k的取值范圍是k＜1；

（3）解：設方程的兩個根分別是x1，x2，

根據題意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，

即x1?x2﹣3（x1+x2）+9＜0，

又x1+x2=5﹣k，x1?x2=1﹣k，

代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，

解得k＜．

則k的最大整數值為2．

24．荊州市某水產養殖戶進行小龍蝦養殖．已知每千克小龍蝦養殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p（元/千克）與時間第t（天）之間的函數關系為：

，日銷售量y（千克）與時間第t（天）之間的函數關系如圖所示：

（1）求日銷售量y與時間t的函數關系式？[來源:Z*xx*k.Com]

（2）哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？

（3）該養殖戶有多少天日銷售利潤不低于2400元？

（4）在實際銷售的前40天中，該養殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈m（m＜7）元給村里的特困戶．在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求m的取值范圍．

【考點】HE：二次函數的應用．

【分析】（1）根據函數圖象，利用待定系數法求解可得；

（2）設日銷售利潤為w，分1≤t≤40和41≤t≤80兩種情況，根據“總利潤=每千克利潤×銷售量”列出函數解析式，由二次函數的性質分別求得最值即可判斷；

（3）求出w=2400時x的值，結合函數圖象即可得出答案；

（4）依據（2）中相等關系列出函數解析式，確定其對稱軸，由1≤t≤40且銷售利潤隨時間t的增大而增大，結合二次函數的性質可得答案．

【解答】解：（1）設解析式為y=kt+b，

將（1，198）、（80，40）代入，得：

，

解得：，

∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數）；

（2）設日銷售利潤為w，則w=（p﹣6）y，

①當1≤t≤40時，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，

∴當t=30時，w最大=2450；

②當41≤t≤80時，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，

∴當t=41時，w最大=2301，[來源:chusan.Com]

∵2450＞2301，

∴第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元．

（3）由（2）得：當1≤t≤40時，

w=﹣（t﹣30）2+2450，

令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，

解得：t1=20、t2=40，

由函數w=﹣（t﹣30）2+2450圖象可知，當20≤t≤40時，日銷售利潤不低于2400元，

而當41≤t≤80時，w最大=2301＜2400，

∴t的取值范圍是20≤t≤40，

∴共有21天符合條件．

（4）設日銷售利潤為w，根據題意，得：

w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，

其函數圖象的對稱軸為t=2m+30，

∵w隨t的增大而增大，且1≤t≤40，

∴由二次函數的圖象及其性質可知2m+30≥40，

解得：m≥5，

又m＜7，

∴5≤m＜7．

25．如圖在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點P、Q同時從點A出發，運動時間為t秒．其中點P沿射線AB運動，速度為每秒4個單位長度，點Q沿射線AO運動，速度為每秒5個單位長度．以點Q為圓心，PQ長為半徑作⊙Q．

（1）求證：直線AB是⊙Q的切線；

（2）過點A左側x軸上的任意一點C（m，0），作直線AB的垂線CM，垂足為M．若CM與⊙Q相切于點D，求m與t的函數關系式（不需寫出自變量的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，是否存在點C，直線AB、CM、y軸與⊙Q同時相切？若存在，請直接寫出此時點C的坐標；若不存在，請說明理由．

【考點】FI：一次函數綜合題．

【分析】（1）只要證明△PAQ∽△BAO，即可推出∠APQ=∠AOB=90°，推出QP⊥AB，推出AB是⊙O的切線；

（2）分兩種情形求解即可：①如圖2中，當直線CM在⊙O的左側與⊙Q相切時，設切點為D，則四邊形PQDM是正方形．②如圖3中，當直線CM在⊙O的右側與⊙Q相切時，設切點為D，則四邊形PQDM是正方形．分別列出方程即可解決問題．

（3）分兩種情形討論即可，一共有四個點滿足條件．

【解答】（1）證明：如圖1中，連接QP．

在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，

∴AB==5，

∵AP=4t，AQ=5t，

∴==，∵∠PAQ=∠BAO，

∴△PAQ∽△BAO，

∴∠APQ=∠AOB=90°，

∴QP⊥AB，

∴AB是⊙O的切線．

（2）解：①如圖2中，當直線CM在⊙O的左側與⊙Q相切時，設切點為D，則四邊形PQDM是正方形．

易知PQ=DQ=3t，CQ=?3t=，

∵OC+CQ+AQ=4，

∴m+t+5t=4，

∴m=4﹣t．

②如圖3中，當直線CM在⊙O的右側與⊙Q相切時，設切點為D，則四邊形PQDM是正方形．

∵OC+AQ﹣CQ=4，

∴m+5t﹣t=4，

∴m=4﹣t．

（3）解：存在．理由如下：

如圖4中，當⊙Q在y則的右側與y軸相切時，3t+5t=4，t=，

由（2）可知，m=﹣或．

如圖5中，當⊙Q在y則的左側與y軸相切時，5t﹣3t=4，t=2，

由（2）可知，m=﹣或．

綜上所述，滿足條件的點C的坐標為（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．

2017年7月6日