2018年永州中考數學模擬試題word版（含解析）

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2018年永州中考數學模擬試題

一、選擇題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）

1．的平方根是（　　）

A．????????????? B．2????????????? C．±2????????????? D．

2．﹣的絕對值是（　　）

A．﹣????????????? B．????????????? C．﹣2????????????? D．2

3．如圖是由5個大小相同的正方體擺成的立方體圖形，它的主視圖是圖中的（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

4．有30位同學參加數學競賽，已知他們的分數互不相同，按分數從高到低選15位同學進入下一輪比賽．小明同學知道自己的分數后，還需知道哪個統計量，才能判斷自己能否進入下一輪比賽？（　　）

A．眾數????????????? B．方差????????????? C．中位數????????????? D．平均數

5．已知△ABC如圖所示．則與△ABC相似的是下列圖中的（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

6．已知⊙O1的半徑為3cm，⊙O2的半徑為7cm，若⊙O1和⊙O2的公共點不超過1個，則兩圓的圓心距不可能為（　　）

A．0 cm????????????? B．4 cm????????????? C．8 cm????????????? D．12 cm

7．下列計算中，正確的是（　　）

A．2x+3y=5xy????????????? B．x?x4=x4????????????? C．x8÷x2=x4????????????? D．（x2y）3=x6y3

8.如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點A和點B．點M和點N分別是l1和l2上的動點，MN沿l1和l2平移．⊙O的半徑為1，∠1=60°．下列結論錯誤的是（　　）

A．????????????? B．若MN與⊙O相切，則

C．若∠MON=90°，則MN與⊙O相切????????????? D．l1和l2的距離為2

二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）

9．函數y=，當x=2時沒有意義，則a=　　　　　　．

10．納米（nm）是一種長度度量單位，1nm=0.000000001m，用科學記數法表示0.3011nm=　　　　　　m（保留兩個有效數字）．

11．將化成小數，則小數點后第2009位數字為　　　　　　．

12．數軸上A、B兩點所表示的有理數的和是　　　　　　．

13．已知直線y=2x+k和雙曲線y=的一個交點的縱坐標為﹣4，則k的值為　　　　　　．

14．如果從小明等6名學生中任選1名作為“世博會”志愿者，那么小明被選中的概率是　　　　　　．

15．如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC=6，BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長是　　　　　　．

16．如圖，在等腰直角三角形ABC中，點D為斜邊AB的中點，已知扇形GAD，HBD的圓心角∠DAG，∠DBH都等于90°，且AB=2，則圖中陰影部分的面積為　　　　　　．

三、解答題（72分）

17．計算：（π﹣2011）0+（sin60°）﹣1﹣|tan30°﹣|+．

18．先化簡，再求值：，其中x=2．

19．如圖1，正方形ABCD是一個6×6網格電子屏的示意圖，其中每個小正方形的邊長為1．位于AD中點處的光點P按圖2的程序移動．

（1）請在圖1中畫出光點P經過的路徑；

（2）求光點P經過的路徑總長（結果保留π）．

20．有A，B兩個黑布袋，A布袋中有兩個完全相同的小球，分別標有數字1和2．B布袋中有三個完全相同的小球，分別標有數字﹣1，﹣2和2．小明從A布袋中隨機取出一個小球，記錄其標有的數字為x，再從B布袋中隨機取出一個小球，記錄其標有的數字為y，這樣就確定點Q的一個坐標為（x，y）．

（1）用列表或畫樹狀圖的方法寫出點Q的所有可能坐標；

（2）求點Q落在直線y=x﹣3上的概率．

21．2011年3月11日下午，日本東北部地區發生里氏9級特大地震和海嘯災害，造成重大人員傷亡和財產損失．強震發生后，中國軍隊將籌措到位的第一批次援日救災物資打包成件，其中棉帳篷和毛巾被共320件，毛巾被比棉帳篷多80件．

（1）求打包成件的棉帳篷和毛巾被各多少件？

（2）現計劃租用甲、乙兩種飛機共8架，一次性將這批棉帳篷和毛巾被全部運往日本重災區宮城縣．已知甲種飛機最多可裝毛巾被40件和棉帳篷10件，乙種飛機最多可裝毛巾被和棉帳篷各20件．則安排甲、乙兩種飛機時有幾種方案？請你幫助設計出來．

22．如圖，在?ABCD中，BC=2AB=4，點E、F分別是BC、AD的中點．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）當四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積．

23．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長．

24．如圖，直角△ABC中，∠C=90°，，，點P為邊BC上一動點，PD∥AB，PD交AC于點D，連接AP．

（1）求AC、BC的長；

（2）設PC的長為x，△ADP的面積為y．當x為何值時，y最大，并求出最大值．

25．如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為1的圓的圓心O在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點D，與直線y=x交于點M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點A和點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接DE，并延長DE交圓O于F，求EF的長；

（3）過點B作圓O的切線交DC的延長線于點P，判斷點P是否在拋物線上，說明理由．

2018年永州中考數學模擬試題參考答案

一、選擇題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）

1．的平方根是（　　）

A．????????????? B．2????????????? C．±2????????????? D．

【考點】算術平方根；平方根．

【分析】首先根據算術平方根的定義化簡，然后根據平方根的定義即可得出結果．

【解答】解：∵ =4，

又∵22=4，（﹣2）2=4，

∴的平方根為±2；

故選C．

【點評】本題主要考查了平方根和算術平方根的定義．解題注意算術平方根和平方根的區別．平方根的定義：如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．

2．﹣的絕對值是（　　）

A．﹣????????????? B．????????????? C．﹣2????????????? D．2

【考點】絕對值．

【分析】根據絕對值的定義直接計算即可解答．

【解答】解：﹣的絕對值為．

故選：B．

【點評】本題主要考查絕對值的性質．絕對值規律總結：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．

3．如圖是由5個大小相同的正方體擺成的立方體圖形，它的主視圖是圖中的（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】簡單組合體的三視圖．

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可．

【解答】解：從物體正面看，左邊1個正方形，中間2個正方形，右邊1個正方形，

故選D．

【點評】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖，解答時學生易將三種視圖混淆而錯誤的選其它選項．

4．有30位同學參加數學競賽，已知他們的分數互不相同，按分數從高到低選15位同學進入下一輪比賽．小明同學知道自己的分數后，還需知道哪個統計量，才能判斷自己能否進入下一輪比賽？（　　）

A．眾數????????????? B．方差????????????? C．中位數????????????? D．平均數

【考點】統計量的選擇．

【分析】由于選15位同學進入下一輪比賽，共有30位同學參加數學競賽，故應根據中位數的意義分析．

【解答】解：因為15位同學的成績肯定是30位同學中最高成績，而且30個不同的分數按從小到大排序后，中位數及中位數之后的共有15個數，故只要知道自己的分數和中位數就可以知道是否進入下一輪比賽了．

故選C．

【點評】此題主要考查統計的有關知識，主要包括平均數、中位數、眾數、方差的意義．反映數據集中程度的統計量有平均數、中位數、眾數、方差等，各有局限性，因此要對統計量進行合理的選擇和恰當的運用．

5．已知△ABC如圖所示．則與△ABC相似的是下列圖中的（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】相似三角形的判定．

【分析】依據等腰三角形的性質求得∠A的值，然后相似三角形的判定定理回答即可．

【解答】解：∵AB=AC，∠B=75°，

∴∠B=∠C=75°．

∴∠A=30°．

依據兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可知答案為C．

故選：C．

【點評】本題主要考查的是相似三角形的判斷、等腰三角形的性質，掌握相似三角形的判斷定理是解題的關鍵．

6．已知⊙O1的半徑為3cm，⊙O2的半徑為7cm，若⊙O1和⊙O2的公共點不超過1個，則兩圓的圓心距不可能為（　　）

A．0 cm????????????? B．4 cm????????????? C．8 cm????????????? D．12 cm

【考點】圓與圓的位置關系．

【分析】因為⊙O1和⊙O2的公共點不超過1個，所以兩圓的位置關系不可能是相交，所以4＜d＜10范圍內的值是不可能的．

【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的公共點不超過1個，

∴兩圓不可能相交，

∴圓心距不可能在4＜d＜10范圍，

∴將四選項與圓心距范圍比較，則C不可能．

故選C．

【點評】本題考查了由兩圓位置關系來判斷半徑和圓心距之間數量關系的方法．兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P：外離P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；內切P=R﹣r；內含P＜R﹣r．

7．下列計算中，正確的是（　　）

A．2x+3y=5xy????????????? B．x?x4=x4????????????? C．x8÷x2=x4????????????? D．（x2y）3=x6y3

【考點】同底數冪的除法；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．菁優網版權所有

【分析】根據同底數冪相乘，底數不變指數相加；同底數冪相除，底數不變指數相減；積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，對各選項分析判斷后利用排除法求解．

【解答】解：A、2x與3y不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；

B、應為x?x4=x1+4=x5，故本選項錯誤；

C、應為x8÷x2=x8﹣2=x6，故本選項錯誤；

D、（x2y）3=x6y3，正確．

故選D．

【點評】本題考查了同底數冪的乘法和除法，積的乘方的性質，需熟練掌握且區分清楚，才不容易出錯．

8．如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點A和點B．點M和點N分別是l1和l2上的動點，MN沿l1和l2平移．⊙O的半徑為1，∠1=60°．下列結論錯誤的是（　　）

A．????????????? B．若MN與⊙O相切，則

C．若∠MON=90°，則MN與⊙O相切????????????? D．l1和l2的距離為2

【考點】直線與圓的位置關系．

【分析】根據直線與圓的相關知識，逐一判斷．

【解答】解：A、平移MN使點B與N重合，∠1=60°，AB=2，解直角三角形得，正確；

B、當MN與圓相切時，M，N在AB左側以及M，N在A，B右側時，AM=或，錯誤；

C、若∠MON=90°，連接NO并延長交MA于點C，則△AOC≌△BON，

故CO=NO，△MON≌△MOC，故MN上的高為1，即O到MN的距離等于半徑．正確；

D、l1∥l2，兩平行線之間的距離為線段AB的長，即直徑AB=2，正確．

故選B．

【點評】本題考查了直線與圓相切的判斷方法和性質．

二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）

9．函數y=，當x=2時沒有意義，則a=　1　．

【考點】函數自變量的取值范圍．

【分析】根據分式無意義的條件：分母等于0，即當x=2時，分母x﹣2a=0，即可求得a的值．

【解答】解：∵函數y=，當x=2時沒有意義，

∴2﹣2a=0，解得：a=1．

故答案是：1．

【點評】本題主要考查自變量的取值范圍，函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：

（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；

（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數為非負數．

10．納米（nm）是一種長度度量單位，1nm=0.000000001m，用科學記數法表示0.3011nm=　3.0×10﹣10　m（保留兩個有效數字）．

【考點】科學記數法與有效數字．

【分析】首先將0.3011納米轉化為米，然后用科學記數法表示即可．

【解答】解：0.3011nm=0.000000001×0.3011=0.0000003011=3.011×10﹣10≈3.0×10﹣10故答案為：3.0×10﹣10

【點評】本題考查了本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．

有效數字的計算方法是：從左邊第一個不是0的開始，后面所有的數都是有效數字．用科學記數法表示的數，有效數字只與前面a有關，而與n的大小無關．

11．將化成小數，則小數點后第2009位數字為　0　．

【考點】有理數的除法．

【分析】先把分數化成小數的形式，發現規律后再用2009除以3即可．

【解答】解：將化成小數為：0.703703703…，∵2009÷3=669…2，∴小數點后第2009位數字為0．

【點評】解決此題的關鍵是把分數化為小數，然后找到規律，再進行除法運算得到答案．

12．數軸上A、B兩點所表示的有理數的和是　﹣1　．

【考點】有理數的加法；數軸．

【分析】此題借助數軸用數形結合的方法求解．由數軸可知點A表示的數是﹣3，點B表示的數是2，所以A，B兩點所表示的有理數的和是﹣1．

【解答】解：由數軸得，點A表示的數是﹣3，點B表示的數是2，

∴A，B兩點所表示的有理數的和是﹣3+2=﹣1．

【點評】本題考查數軸的有關知識．借助數軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現了數形結合的優點．

13．已知直線y=2x+k和雙曲線y=的一個交點的縱坐標為﹣4，則k的值為　﹣8　．

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．

【分析】因為正比例函數y=2x+k的圖象與反比例函數y=的圖象有一個交點的縱坐標是﹣4，即當y=﹣4時，有相等的x的值，故可將y=﹣4代入兩式，令兩式x相等，即可求出k的值．

【解答】解：把y=﹣4分別代入解析式y=2x+k得，

﹣4=2x+k，x=；

把y=﹣4分別代入解析式y=得，

﹣4=，x=，

于是=﹣，

解得k=﹣8．

故答案為：﹣8．

【點評】解答此題的關鍵是根據函數圖象的交點坐標適合函數的解析式，將交點縱坐標代入，利用橫坐標相等的隱含條件建立等式，體現了數形結合的思想．

14．如果從小明等6名學生中任選1名作為“世博會”志愿者，那么小明被選中的概率是　　．

【考點】概率公式．

【分析】本題考查了概率的簡單計算能力，是一道列舉法求概率的問題，屬于基礎題，可以直接應用求概率的公式．

【解答】解：因為從小明等6名學生中任選1名作為“世博會”志愿者，可能出現的結果有6種，選中小明的可能性有一種，所以小明被選中的概率是．

【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．

15．如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC=6，BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長是　76　．

【考點】勾股定理．

【分析】通過勾股定理可將“數學風車”的斜邊求出，然后可求出風車外圍的周長．

【解答】解：設將AC延長到點D，連接BD，

根據題意，得CD=6×2=12，BC=5．

∵∠BCD=90°

∴BC2+CD2=BD2，即52+122=BD2

∴BD=13

∴AD+BD=6+13=19

∴這個風車的外圍周長是19×4=76．

故答案為：76．

【點評】本題考查勾股定理在實際情況中應用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．

16．如圖，在等腰直角三角形ABC中，點D為斜邊AB的中點，已知扇形GAD，HBD的圓心角∠DAG，∠DBH都等于90°，且AB=2，則圖中陰影部分的面積為　﹣　．

【考點】扇形面積的計算；等腰直角三角形．

【分析】分析題干可知，陰影部分面積等于陰影部分扇形面積﹣兩個三角形面積．

【解答】解：∵AB=2，點D為斜邊AB的中點，

∴S扇形HBD=××1，

S空白三角形=，

∴S陰影=2（S扇形HBD﹣S空白三角形）=﹣．

故答案為：﹣．

【點評】本題主要考查扇形面積的計算，知道扇形面積計算公式S=αr2．

三、解答題（72分）

17．計算：（π﹣2011）0+（sin60°）﹣1﹣|tan30°﹣|+．

【考點】實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．

【分析】本題涉及零指數冪、負指數冪、特殊角的銳角三角函數值、立方根、絕對值的性質．在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果．

【解答】解：原式=1++﹣+2

=3．

【點評】本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟練掌握負整數指數冪、零指數冪、二次根式、絕對值等考點的運算．

18．先化簡，再求值：，其中x=2．

【考點】分式的化簡求值．

【分析】先化簡代數式：利用完全平方公式和提取公因式法分解中的分子和分母，再約為最簡形式；然后通分，進行四則運算；最后將x=2代入求值．

【解答】解：原式=×﹣

=﹣

=

=﹣；

當x=2時，原式=一（5分）

【點評】本題考查了分式的化簡求值．在化簡分式時，借用了完全平方差公式和提取公因式法分解因式．

19．如圖1，正方形ABCD是一個6×6網格電子屏的示意圖，其中每個小正方形的邊長為1．位于AD中點處的光點P按圖2的程序移動．

（1）請在圖1中畫出光點P經過的路徑；

（2）求光點P經過的路徑總長（結果保留π）．

【考點】弧長的計算；作圖-旋轉變換．

【分析】（1）按圖2中的程序旋轉一一找到對應點，第一次是繞點A順時針旋轉90°，得到對應點，再繞點B順時針旋轉90°，得到對應點．再繞點C順時針旋轉90°，得到對應點，再繞點D順時針旋轉90°，得到對應點即可．

（2）從中可以看出它的路線長是4段弧長，根據弧長公式計算即可．

【解答】解：（1）如圖；

（2）∵，

∴點P經過的路徑總長為6π．

【點評】本題主要考查了旋轉變換作圖，但本題的題型很新，用程序輸入的方法，是一道有創新的題．

20．有A，B兩個黑布袋，A布袋中有兩個完全相同的小球，分別標有數字1和2．B布袋中有三個完全相同的小球，分別標有數字﹣1，﹣2和2．小明從A布袋中隨機取出一個小球，記錄其標有的數字為x，再從B布袋中隨機取出一個小球，記錄其標有的數字為y，這樣就確定點Q的一個坐標為（x，y）．

（1）用列表或畫樹狀圖的方法寫出點Q的所有可能坐標；

（2）求點Q落在直線y=x﹣3上的概率．

【考點】列表法與樹狀圖法；一次函數圖象上點的坐標特征．

【分析】（1）根據題意畫樹狀圖，然后根據樹狀圖求得所有等可能的結果，即可求得點Q的所有可能坐標；

（2）根據（1）中的樹狀圖，求得點Q落在直線y=x﹣3上的情況，根據概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：（1）樹狀圖如下：

∴Q點的所有可能是Q（1，﹣1）；Q（1，2）；Q（1，﹣2）；Q（2，﹣1）；Q（2，2）；Q（2，﹣2）．

（2）∵只有Q（1，﹣2），Q（2，﹣1）在直線y=x﹣3上，

∴點Q落在直線y=x﹣3上的概率為： =．

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．注意列表法與樹狀圖法可以不重不漏的表示出所有等可能的結果．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．

21．2011年3月11日下午，日本東北部地區發生里氏9級特大地震和海嘯災害，造成重大人員傷亡和財產損失．強震發生后，中國軍隊將籌措到位的第一批次援日救災物資打包成件，其中棉帳篷和毛巾被共320件，毛巾被比棉帳篷多80件．

（1）求打包成件的棉帳篷和毛巾被各多少件？

（2）現計劃租用甲、乙兩種飛機共8架，一次性將這批棉帳篷和毛巾被全部運往日本重災區宮城縣．已知甲種飛機最多可裝毛巾被40件和棉帳篷10件，乙種飛機最多可裝毛巾被和棉帳篷各20件．則安排甲、乙兩種飛機時有幾種方案？請你幫助設計出來．

【考點】一元一次不等式組的應用；一元一次方程的應用．

【分析】（1）設打包成件的棉帳篷有x件，則毛巾被有（x+80）件，根據題意建立方程求出其解就可以得出結論；

（2）設租用甲種飛機y輛，則租用乙種飛機（8﹣y）輛，根據題意建立不等式組，求出其解，再根據x的取值范圍就可以確定租用的方案．

【解答】（1）設打包成件的棉帳篷有x件，則毛巾被有（x+80）件，由題意得：

x+（x+80）=320，

解得：x=120，

∴毛巾被有：120+80=200件

答：打包成件的毛巾被和棉帳篷分別為200件和120件．

（2）設租用甲種飛機y輛，則租用乙種飛機（8﹣y）輛，由題意，得

解得：2≤x≤4，

∵x為整數，

∴x=2或3或4，

∴中國軍隊安排甲、乙兩種飛機時有3種方案．

設計方案分別為：

①甲飛機2輛，乙飛機6輛；

②甲飛機3輛，乙飛機5輛；

③甲飛機4輛，乙飛機4輛．

【點評】本題考查了列一元一次方程及列一元一次不等式組解實際問題的運用，在解答時先根據條件列出方程求出棉帳篷和毛巾被的件數是關鍵．

22．如圖，在?ABCD中，BC=2AB=4，點E、F分別是BC、AD的中點．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）當四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積．

【考點】菱形的性質；全等三角形的判定；平行四邊形的性質．

【分析】第（1）問要證明三角形全等，由平行四邊形的性質，很容易用SAS證全等．

第（2）要求菱形的面積，在第（1）問的基礎上很快知道△ABE為等邊三角形．這樣菱形的高就可求了，用面積公式可求得．

【解答】（1）證明：∵在?ABCD中，AB=CD，

∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．

又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，

∴BE=DF．

∴△ABE≌△CDF．

（2）解：∵四邊形AECF為菱形時，

∴AE=EC．

又∵點E是邊BC的中點，

∴BE=EC，即BE=AE．

又BC=2AB=4，

∴AB=BC=BE，

∴AB=BE=AE，即△ABE為等邊三角形，（6分）

?ABCD的BC邊上的高為2×sin60°=，（7分）

∴菱形AECF的面積為2．（8分）

【點評】考查了全等三角形，四邊形的知識以及邏輯推理能力．

（1）用SAS證全等；

（2）若四邊形AECF為菱形，則AE=EC=BE=AB，所以△ABE為等邊三角形．

23．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長．

【考點】切線的判定與性質；圓周角定理；解直角三角形．

【分析】（1）連接OD，根據OA=OB，CD=BD，得出OD∥AC，∠0DE=∠CED，再根據DE⊥AC，即可證出OD⊥DE，從而得出答案；

（2）結合（1）中的結論，可以證明△BOD是等邊三角形，即可求得CD和BD的長，再根據銳角三角函數即可計算DE的長．

【解答】（1）證明：如圖，連接OD．

∵OA=OB，CD=BD，

∴OD∥AC．

∴∠0DE=∠CED．

又∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°．

∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，

∴∠BOD=∠BAC=60°，

∠C=∠0DB．

又∵OB=OD，

∴△BOD是等邊三角形．

∴∠C=∠ODB=60°，

CD=BD=5．

∵DE⊥AC，

∴DE=CDsin∠C=5×sin60°=．

【點評】本題考查了切線的判定與性質，用到的知識點是圓周角定理的推論、線段垂直平分線的性質以及等邊三角形的判定，是一道常考題型．

24．如圖，直角△ABC中，∠C=90°，，，點P為邊BC上一動點，PD∥AB，PD交AC于點D，連接AP．

（1）求AC、BC的長；

（2）設PC的長為x，△ADP的面積為y．當x為何值時，y最大，并求出最大值．

【考點】二次函數的最值；勾股定理；相似三角形的判定與性質．

【分析】（1）在Rt△ABC中，根據∠B的正弦值及斜邊AB的長，可求出AC的長，進而可由勾股定理求得BC的長；

（2）由于PD∥AB，易證得△CPD∽△CBA，根據相似三角形得出的成比例線段，可求出CD的表達式，也就求出AD的表達式，進而可以AD為底、PC為高得出△ADP的面積，即可求出關于y、x的函數關系式，根據所得函數的性質，可求出y的最大值及對應的x的值．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，，，

得，

∴AC=2，根據勾股定理得：BC=4；（3分）

（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴；

設PC=x，則，，

∴

∴當x=2時，y的最大值是1． （8分）

【點評】此題主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質、二次函數的應用等知識．

25．如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為1的圓的圓心O在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點D，與直線y=x交于點M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點A和點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接DE，并延長DE交圓O于F，求EF的長；

（3）過點B作圓O的切線交DC的延長線于點P，判斷點P是否在拋物線上，說明理由．

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）根據圖形，易得點A、B、C、D的坐標；進而可得拋物線上三點D、M、N的坐標，將其代入解析式，求可得解析式；

（2）有（1）的解析式，可得頂點坐標，即OE、DE的長，易得△BFD∽△EOD，再由EF=FD﹣DE的關系代入數值可得答案；（3）首先根據CD的坐標求出CD的直線方程，在根據切線的性質，可求得P的坐標，進而可得P是否在拋物線上．

【解答】解：（1）∵圓心O在坐標原點，圓O的半徑為1

∴點A、B、C、D的坐標分別為A（﹣1，0）、B（0，﹣1）、C（1，0）、D（0，1）

∵拋物線與直線y=x交于點M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點A和點C

∴M（﹣1，﹣1）、N（1，1）

∵點D、M、N在拋物線上，將D（0，1）、M（﹣1，﹣1）、N（1，1）的坐標代入y=ax2+bx+c，

得：

解之，得：

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+1．

（2）∵y=﹣x2+x+1=﹣（x﹣）2+

∴拋物線的對稱軸為

∴OE=，DE=

連接BF，則∠BFD=90°

∴△BFD∽△EOD

∴

又DE=，OD=1，DB=2

∴FD=

∴EF=FD﹣DE=．

（3）點P在拋物線上．

設過D、C點的直線為y=kx+b

將點C（1，0）、D（0，1）的坐標代入y=kx+b，得

k=﹣1，b=1

∴直線DC為y=﹣x+1

過點B作圓O的切線BP與x軸平行，P點的縱坐標為y=﹣1

將y=﹣1代入y=﹣x+1，得x=2

∴P點的坐標為（2，﹣1）

當x=2時，y=﹣x2+x+1=﹣22+2+1=﹣1

所以，P點在拋物線y=﹣x2+x+1上．

【點評】本題考查學生將二次函數的圖象與圓的位置關系，要求學生將圖象與解析式互相結合分析、處理問題．