2018廊坊市中考數學模擬試題【解析版含答案】

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2018廊坊市中考數學模擬試題

一、選擇題（共16小題，每小題3分，滿分48分）

1．下列圖形是中心對稱圖形的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

2．下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．x+2y=1????????????? B．2x（x﹣1）=2x2+3????????????? C．x2﹣2=0????????????? D．3x+=4

3．二次函數y=﹣（x+1）2﹣2的頂點坐標是（　　）

A．（1．﹣2）????????????? B．（﹣1．﹣2 ）????????????? C．（1.2）????????????? D．（﹣1.2）

4．一元二次方程x（x+5）=0的根是（　　）

A．x1=0，x2=5????????????? B．x1=0，x2=﹣5????????????? C．x1=0，x2=????????????? D．x1=0，x2=﹣

5．二次函數y=x2﹣2x+3的對稱軸為（　　）

A．x=﹣2????????????? B．x=2????????????? C．x=1????????????? D．x=﹣1

6．在藝術字中，有些字母是中心對稱圖形，下面的5個字母中，是中心對稱圖形的有（　　）

A．2個????????????? B．3個????????????? C．4個????????????? D．5個

7．（廊坊中考數學）矩形的對角線相交于點 O，過點O 的直線交AD，BC 于點E，F，AB=2，BC=3，則圖中陰影部分的面積為（　　）

A．6????????????? B．3????????????? C．5????????????? D．2

8．一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（　　）

A．3，﹣4，﹣5????????????? B．3，﹣4，5????????????? C．3，4，5????????????? D．3，4，﹣5

9．如圖，把4張撲克牌放在桌上，然后把其中三張撲克牌繞自身中心旋轉180°后，得到下列圖示．你知道哪一張撲克牌沒被旋轉過嗎？（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

10．對于函數y=﹣x2+2x﹣2，使得y隨x的增大而增大的x的取值范圍是（　　）

A．x＞1????????????? B．x≥0????????????? C．x≤0????????????? D．x＜1

11．若將拋物線y=x2向右平移2個單位，再向上平移3個單位，則所得拋物線的表達式為（　　）

A．y=（x+2）2+3????????????? B．y=（x﹣2）2+3????????????? C．y=（x+2）2﹣3????????????? D．y=（x﹣2）2﹣3

12．在平面直角坐標系中，點A（2016，2017）關于原點O對稱的點A′的坐標為（　　）

A．（﹣2016，2017）????????????? B．（2016，﹣2017）????????????? C．（2016，2017）????????????? D．（﹣2016，﹣2017）

13．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖示，下列結論：

①2a+b=0；

②a+c＞b；

③拋物線與x軸的另一個交點為（4，0）；

④abc＞0

其中正確的結論是（　　）

A．①④????????????? B．②④????????????? C．①③④????????????? D．②③④

14．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0時，配方后得到的方程為（　　）

A．（x﹣1）2=4????????????? B．（x﹣1）2=﹣4????????????? C．（x+1）2=4????????????? D．（x+1）2=﹣4

15．由二次函數y=2（x﹣3）2+1可知（　　）

A．其圖象的開口向下????????????? B．其圖象的對稱軸為x=﹣3

C．其最大值為1????????????? D．當x＜3時，y隨x的增大而減小

16．（廊坊中考數學）如圖，在△ABC中，∠CAB=65°，將△ABC在平面內繞點A旋轉到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉角的度數為（　　）

A．35°????????????? B．40°????????????? C．50°????????????? D．65°

二、填空題（共4小題，每小題3分，滿分12分）

17．在①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰梯形這五種圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是　　（只填序號）．

18．如圖，給一幅長8m，寬5m的矩形風景畫（圖中陰影部分）鑲一個畫框，若設畫框的寬均為xm，裝好畫框后總面積為70m2，則根據題意可列方程為　　．

19．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點是A（1，0），對稱軸為直線x=﹣1，則一元二次方程ax2+bx+c=0的解是　　．

20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（3，4），將OA繞坐標原點O逆時針旋轉90°至OA′，則點A′的坐標是　　．

三、（廊坊中考數學）解答題（共5小題，滿分60分）

21．（8分）解方程：x2﹣2x﹣8=0．

22．（12分）如圖，平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（0，3）、（1，1）和（3，4），

（1）畫出將△ABC繞點O逆時針旋轉90度得到的△A′B′C′

（2）畫出△ABC關于原點對稱的△DEF；

（3）寫出C與C′的距離　　．

23．（10分）已知二次函數的圖象經過（1，﹣4）點，且頂點坐標為（﹣1，0），求此二次函數的解析式．

24．（16分）如圖（1），將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

操作發現：

如圖（2）：固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：

（1）線段DE與線段AC的位置關系是　　．

（2）設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是　　．

猜想論證：

（3）當△DEC繞點C旋轉到圖（3）的位置時，小明猜想．（2）中S1與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．

25．（廊坊中考數學）（14分）某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次，據調查顯示，每個檔次的日產量及相應的單件利潤如表所示（其中x為正整數，且1≤x≤10）；

為了便于調控，此工廠每天只生產一個檔次的產品，當生產質量檔次為x的產品時，當天的利潤為y萬元．

（1）求y關于x的函數關系式；

（2）工廠為獲得最大利潤，應選擇生產哪個檔次的產品？并求出當天利潤的最大值．

廊坊中考數學參考答案與試題解析

一、選擇題（共16小題，每小題3分，滿分48分）

1．下列圖形是中心對稱圖形的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】中心對稱圖形．

【分析】根據把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心進行分析即可．

【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B、是中心對稱圖形，故此選項正確；

C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：B．

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形，關鍵是掌握中心對稱圖形的定義．

2．下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．x+2y=1????????????? B．2x（x﹣1）=2x2+3????????????? C．x2﹣2=0????????????? D．3x+=4

【考點】一元二次方程的定義．

【分析】依據一元二次方程的定義回答即可．

【解答】解：A、x+2y=1，含有兩個未知數，故不是一元二次方程，故A錯誤；

B、方程2x（x﹣1）=2x2+3可變形為﹣2x=3，故不是一元二次方程，故B錯誤；

C、方程x2﹣2=0是一元二次方程，故C正確；

D、方程3x+=4不是一元二次方程，故D錯誤．

故選：C．

【點評】本題主要考查的是一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．

3．二次函數y=﹣（x+1）2﹣2的頂點坐標是（　　）

A．（1．﹣2）????????????? B．（﹣1．﹣2 ）????????????? C．（1.2）????????????? D．（﹣1.2）

【考點】二次函數的性質．

【分析】因為y=﹣（x+1）2﹣2是二次函數的頂點式，根據頂點式可直接寫出頂點坐標．

【解答】解：∵拋物線解析式為y=﹣（x+1）2﹣2，

∴二次函數圖象的頂點坐標是（﹣1，﹣2）．

故選B．

【點評】根據拋物線的頂點式，可確定拋物線的開口方向，頂點坐標（對稱軸），最大（最小）值，增減性等．

　（廊坊中考數學）

4．一元二次方程x（x+5）=0的根是（　　）

A．x1=0，x2=5????????????? B．x1=0，x2=﹣5????????????? C．x1=0，x2=????????????? D．x1=0，x2=﹣

【考點】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】利用分解因式法即可求解．

【解答】解：∵x（x+5）=0，

∴x=0或x+5=0，

解得：x1=0，x2=﹣5，

故選：B．

【點評】此題主要考查了利用因式分解的方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練進行分解因式．

5．二次函數y=x2﹣2x+3的對稱軸為（　　）

A．x=﹣2????????????? B．x=2????????????? C．x=1????????????? D．x=﹣1

【考點】二次函數的性質．

【分析】根據二次函數的對稱軸公式直接解答即可．

【解答】解：y=x2﹣2x+3中，

a=1，b=﹣2，c=3，

x=﹣=﹣=1．

故選C．

【點評】本題考查了二次函數的性質，熟悉二次函數的對稱軸公式是解題的關鍵．

6．在藝術字中，有些字母是中心對稱圖形，下面的5個字母中，是中心對稱圖形的有（　　）

A．2個????????????? B．3個????????????? C．4個????????????? D．5個

【考點】中心對稱圖形．

【分析】根據中心對稱圖形的定義，抓住所給圖案的特征，可找出圖中成中心對稱圖形的字母．

【解答】解：H、I、N是中心對稱圖形，所以是中心對稱圖形的有3個．故選B．

【點評】本題比較容易，考查識別圖形的對稱性．要注意正確區分軸對稱圖形和中心對稱圖形，中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉180度后重合．

7．矩形的對角線相交于點 O，過點O 的直線交AD，BC 于點E，F，AB=2，BC=3，則圖中陰影部分的面積為（　　）

A．6????????????? B．3????????????? C．5????????????? D．2

【考點】矩形的性質．

【分析】根據矩形是中心對稱圖形尋找思路：△OBF≌△ODE，圖中陰影部分的面積就是△ADC的面積．

【解答】解：根據矩形的對稱性質得△OBF≌△ODE，

屬于圖中陰影部分的面積就是△ADC的面積．

S△ADC=CD×AD=×2×3=3．

故選：B．

【點評】本題考查了矩形的性質以及三角形的面積公式的運用，解題的關鍵是把陰影圖形的面積補為一個直角三角形的面積．

8．（廊坊中考數學）一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（　　）

A．3，﹣4，﹣5????????????? B．3，﹣4，5????????????? C．3，4，5????????????? D．3，4，﹣5

【考點】一元二次方程的一般形式．

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．

【解答】解：一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是3，﹣4，﹣5．

故選A．

【點評】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．

9．如圖，把4張撲克牌放在桌上，然后把其中三張撲克牌繞自身中心旋轉180°后，得到下列圖示．你知道哪一張撲克牌沒被旋轉過嗎？（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】中心對稱圖形．

【分析】利用中心對稱圖形的定義分析得出即可．

【解答】解：A、是中心對稱圖形，故此選項正確；

B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：A．

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形，正確把握定義是解題關鍵．

10．對于函數y=﹣x2+2x﹣2，使得y隨x的增大而增大的x的取值范圍是（　　）

A．x＞1????????????? B．x≥0????????????? C．x≤0????????????? D．x＜1

【考點】二次函數的性質．

【分析】先運用配方法將拋物線寫成頂點式y=﹣（x+1）2﹣1，由于a=﹣1＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線x=1，根據拋物線的性質可知當x＜1時，y隨x的增大而增大，即可求出．

【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，

a=﹣1＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線x=﹣1，

∴當x＜1時，y隨x的增大而增大，

故選D．

【點評】本題考查了二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的性質，確定拋物線的對稱軸是解答本題的關鍵，a＞0，拋物線開口向上，在對稱軸左側y隨x的增大而減小；a＜0，拋物線開口向下，在對稱軸左側y隨x的增大而增大．

11．（廊坊中考數學）若將拋物線y=x2向右平移2個單位，再向上平移3個單位，則所得拋物線的表達式為（　　）

A．y=（x+2）2+3????????????? B．y=（x﹣2）2+3????????????? C．y=（x+2）2﹣3????????????? D．y=（x﹣2）2﹣3

【考點】二次函數圖象與幾何變換．

【分析】根據二次函數圖象的平移規律解答即可．

【解答】解：將拋物線y=x2向右平移2個單位可得y=（x﹣2）2，再向上平移3個單位可得y=（x﹣2）2+3，

故選：B．

【點評】本題考查了二次函數的幾何變換，熟悉二次函數的平移規律是解題的關鍵．

12．在平面直角坐標系中，點A（2016，2017）關于原點O對稱的點A′的坐標為（　　）

A．（﹣2016，2017）????????????? B．（2016，﹣2017）????????????? C．（2016，2017）????????????? D．（﹣2016，﹣2017）

【考點】關于原點對稱的點的坐標．

【分析】根據關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，可得答案．

【解答】解：點A的坐標是（2016，2017），則點A關于原點O的對稱點的坐標是（﹣2016，﹣2017），

故選：D．

【點評】本題考查了點的坐標，關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數．

13．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖示，下列結論：

①2a+b=0；

②a+c＞b；

③拋物線與x軸的另一個交點為（4，0）；

④abc＞0

其中正確的結論是（　　）

A．①④????????????? B．②④????????????? C．①③④????????????? D．②③④

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數圖象與系數的關系．

【分析】根據函數的對稱軸，圖象可得各系數的關系：a＜0，b＜0，c=0，再結合圖象分別進行判斷各結論即可．

【解答】（廊坊中考數學）解：對稱軸是x=﹣=1，則2a+b=0，故①正確；

當x=﹣1時，y=a﹣b+c＜0，則a+c＜b，故②錯誤；

（﹣2，0）關于x=1的對稱點是（4，0），則拋物線與x軸的另一個交點為（4，0），故③正確；

根據開口向上可得a＞0，對稱軸是x=1，則b＜0，與y軸的交點在y軸的負半軸，則c＜0，則abc＞0，故④正確．

故選C．

【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，關鍵是根據二次函數的圖象獲得有關信息，對要求的式子進行判斷．

14．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0時，配方后得到的方程為（　　）

A．（x﹣1）2=4????????????? B．（x﹣1）2=﹣4????????????? C．（x+1）2=4????????????? D．（x+1）2=﹣4

【考點】解一元二次方程-配方法．

【分析】在本題中，把常數項﹣3移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數﹣2的一半的平方．

【解答】解：把方程x2﹣2x﹣3=0的常數項移到等號的右邊，得到x2﹣2x=3，

方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，得到x2﹣2x+1=4，

配方得（x﹣1）2=4．

故選：A．

【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步驟：

（1）把常數項移到等號的右邊；

（2）把二次項的系數化為1；

（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．

15．由二次函數y=2（x﹣3）2+1可知（　　）

A．其圖象的開口向下????????????? B．其圖象的對稱軸為x=﹣3

C．其最大值為1????????????? D．當x＜3時，y隨x的增大而減小

【考點】二次函數的性質．

【分析】根據二次函數的解析式進行逐項判斷即可．

【解答】解：

∵y=2（x﹣3）2+1，

∴拋物線開口向上，對稱軸為x=3，頂點坐標為（3，1），

∴函數有最小值1，當x＜3時，y隨x的增大而減小，

故選D．

【點評】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在y=a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x=h，頂點坐標為（h，k）．

16（廊坊中考數學）．如圖，在△ABC中，∠CAB=65°，將△ABC在平面內繞點A旋轉到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉角的度數為（　　）

A．35°????????????? B．40°????????????? C．50°????????????? D．65°

【考點】旋轉的性質．

【分析】根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ACC′=∠CAB，根據旋轉的性質可得AC=AC′，然后利用等腰三角形兩底角相等求∠CAC′，再根據∠CAC′、∠BAB′都是旋轉角解答．

【解答】解：∵CC′∥AB，

∴∠ACC′=∠CAB=65°，

∵△ABC繞點A旋轉得到△AB′C′，

∴AC=AC′，

∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，

∴∠CAC′=∠BAB′=50°．

故選C．

【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形兩底角相等的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．

二、填空題（共4小題，每小題3分，滿分12分）

17．在①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰梯形這五種圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是　②、③、④　（只填序號）．

【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．

【解答】解：①不是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一條直線，沿這條直線對折后它的兩部分能夠重合；即不滿足軸對稱圖形的定義．是中心對稱圖形，故錯誤；

②③④都是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故正確；

⑤是軸對稱圖形．不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對稱圖形的定義．故錯誤；

故本題答案為：②③④．

【點評】掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．

18．如圖，給一幅長8m，寬5m的矩形風景畫（圖中陰影部分）鑲一個畫框，若設畫框的寬均為xm，裝好畫框后總面積為70m2，則根據題意可列方程為　（8+2x）（5+2x）=70　．

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．

【分析】整個風景畫的面積=風景畫的長×風景畫的寬=（原矩形風景畫的長+2x）×（原風景畫的寬+2x），把相關數值代入即可求解．

【解答】解：∵風景畫的長為0+2x，寬為5+2x，

∴可列方程為（8+2x）（5+2x）=70．

故答案為（8+2x）（5+2x）=70．

【點評】本題考查用一元二次方程解決實際問題，找到掛圖的長和寬是易錯點．

19（廊坊中考數學）．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點是A（1，0），對稱軸為直線x=﹣1，則一元二次方程ax2+bx+c=0的解是　x1=1，x2=﹣3　．

【考點】拋物線與x軸的交點．

【分析】直接利用拋物線的對稱性以及結合對稱軸以及拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點是A（1，0），得出另一個與x軸的交點，進而得出答案．

【解答】解：∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點是A（1，0），對稱軸為直線x=﹣1，

∴拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點是（﹣3，0），

∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是：x1=1，x2=﹣3．

故答案為：x1=1，x2=﹣3．

【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，正確得出拋物線與x軸的交點坐標是解題關鍵．

20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（3，4），將OA繞坐標原點O逆時針旋轉90°至OA′，則點A′的坐標是　（﹣4，3）　．

【考點】坐標與圖形變化-旋轉．

【分析】過點A作AB⊥x軸于B，過點A′作A′B′⊥x軸于B′，根據旋轉的性質可得OA=OA′，利用同角的余角相等求出∠OAB=∠A′OB′，然后利用“角角邊”證明△AOB和△OA′B′全等，根據全等三角形對應邊相等可得OB′=AB，A′B′=OB，然后寫出點A′的坐標即可．

【解答】解：如圖，過點A作AB⊥x軸于B，過點A′作A′B′⊥x軸于B′，

∵OA繞坐標原點O逆時針旋轉90°至OA′，

∴OA=OA′，∠AOA′=90°，

∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，

∴∠OAB=∠A′OB′，

在△AOB和△OA′B′中，

，

∴△AOB≌△OA′B′（AAS），

∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，

∴點A′的坐標為（﹣4，3）．

故答案為：（﹣4，3）．

【點評】（廊坊中考數學）本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉，熟記性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．

三、解答題（共5小題，滿分60分）

21．解方程：x2﹣2x﹣8=0．

【考點】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】方程左邊的二次三項式便于因式分解，右邊為0，可運用因式分解法解方程．

【解答】解：原方程化為（x+2）（x﹣4）=0，

解得x+2=0，x﹣4=0，

x1=﹣2，x2=4．

【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．

22．（12分）（2016秋?安次區校級期中）如圖，平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（0，3）、（1，1）和（3，4），

（1）畫出將△ABC繞點O逆時針旋轉90度得到的△A′B′C′

（2）畫出△ABC關于原點對稱的△DEF；

（3）寫出C與C′的距離　5　．

【考點】作圖-旋轉變換．

【分析】（1）利用網格特點和旋轉的旋轉化出A、B、C的對應點A′、B′、C′即可；

（2）利用關于原點對稱的點的坐標特征寫出D、E、F的坐標，然后描點即可；

（3）利用勾股定理計算CC′的長．

【解答】（廊坊中考數學）解：（1）如圖，△A′B′C′為所作；

（2）如圖，△DEF為所作；

（3）CC′==5．

故答案為5．

【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．

23．（10分）（2016秋?安次區校級期中）已知二次函數的圖象經過（1，﹣4）點，且頂點坐標為（﹣1，0），求此二次函數的解析式．

【考點】待定系數法求二次函數解析式．

【分析】由于已知拋物線的頂點坐標，則可設頂點式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把（﹣1，0）代入計算出a的值即可．

【解答】解：根據題意，設二次函數的解析式為y=a（x﹣1）2﹣4，

把（﹣1，0）代入得a（﹣1﹣1）2﹣4=0，

解得a=1，

所以二次函數的解析式為y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．

24．（16分）（2016秋?社旗縣期中）如圖（1），將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

操作發現：

如圖（2）：固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：

（1）線段DE與線段AC的位置關系是　DE∥AC　．

（2）設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是　S1=S2　．

猜想論證：

（3）當△DEC繞點C旋轉到圖（3）的位置時，小明猜想．（2）中S1與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．

【考點】三角形綜合題．

【分析】（1）根據旋轉的性質可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠ACD=60°，然后根據內錯角相等，兩直線平行解答；

（2）根據等邊三角形的性質可得AC=AD，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據等底等高的三角形的面積相等解答；

（3）根據旋轉的性質可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．

【解答】（1）解：DE∥AC，理由如下：

∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，

∴AC=CD，

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC；

故答案為：DE∥AC；

（2）解：∵∠B=30°，∠C=90°，

∴CD=AC=AB，

∴BD=AD=AC，

根據等邊三角形的性質，△ACD的邊AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1=S2；

故答案為：S1=S2；

（3）證明：∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到

∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，

∴∠ACN=∠DCM，

在△ACN和△DCM中，，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN=DM，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1=S2．

【點評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關鍵．

25．（14分）（廊坊中考數學）某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次，據調查顯示，每個檔次的日產量及相應的單件利潤如表所示（其中x為正整數，且1≤x≤10）；

為了便于調控，此工廠每天只生產一個檔次的產品，當生產質量檔次為x的產品時，當天的利潤為y萬元．

（1）求y關于x的函數關系式；

（2）工廠為獲得最大利潤，應選擇生產哪個檔次的產品？并求出當天利潤的最大值．

【考點】二次函數的應用．

【分析】（1）根據總利潤=單件利潤×銷售量就可以得出y與x之間的函數關系式；

（2）由（1）的解析式轉化為頂點式，由二次函數的性質就可以求出結論．

【解答】解：（1）由題意，得

y=（100﹣5x）（2x+4），

y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整數）；

答：y關于x的函數關系式為y=﹣10x2+180x+400；

（2）∵y=﹣10x2+180x+400，

∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．

∵1≤x≤10的整數，

∴x=9時，y最大=1210．

答：工廠為獲得最大利潤，應選擇生產9檔次的產品，當天利潤的最大值為1210萬元．

【點評】本題考查了總利潤=單件利潤×銷售量的運用，二次函數的解析式的運用，頂點式的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．