2017年廣東省惠州市惠陽區中考數學模擬試卷題【精編解析版】

2017年廣東省惠州市惠陽區中考數學模擬試卷題【精編解析版】

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一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分．）

1．的倒數是（）

A．﹣2????????????? B．2????????????? C．????????????? D．

2．下列圖案中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

3．中國倡導的“一帶一路”建設將促進我國與世界各國的互利合作，根據規劃，“一帶一路”地區覆蓋總人口約為4400000000人，這個數用科學記數法表示為（）

A．44×108????????????? B．4.4×109????????????? C．4.4×108????????????? D．4.4×1010

4．2010年3月份，某市市區一周空氣質量報告中某項污染指數的數據是：31，35，31，34，30，32，31，這組數據的中位數、眾數分別是（）

A．32，31????????????? B．31，32????????????? C．31，31????????????? D．32，35

5．如圖，直線a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，則∠1的度數為（）

A．35°????????????? B．45°????????????? C．50°????????????? D．55°

6．下列運算正確的是（）

A．2a+3b=5ab????????????? B．a2?a3=a5????????????? C．（2a）3=6a 3????????????? D．a6+a3=a9

7．一元二次方程x2﹣4x+2=0的根的情況是（）

A．有兩個不相等的實數根????????????? B．有兩個相等的實數根

C．只有一個實數根????????????? D．沒有實數根

8．若等腰三角形的兩邊長為3和7，則該等腰三角形的周長為（）

A．10????????????? B．13????????????? C．17????????????? D．13或17

9．不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

10．如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，動點M從點B出發以3cm/s的速度沿著邊BC﹣CD﹣DA運動，到達點A停止運動，另一動點N同時從點B出發，以1cm/s的速度沿著邊BA向點A運動，到達點A停止運動，設點M運動時間為x（s），△AMN的面積為y（cm2），則y關于x的函數圖象是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）

11．因式分解：x2﹣36=　?? 　．

12．一個多邊形的內角和為1080°，則這個多邊形的邊數是　?? 　．

13．若△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：3，則△ABC與△A′B′C′的面積之比為　?? 　．

14．分式方程的解是　?? 　．

15．如圖，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD=30°，且BE=2，則CD=　?? 　．

16．如圖，在圓心角為90°的扇形OAB中，半徑OA=4，C為的中點，D、E分別為OA，OB的中點，則圖中陰影部分的面積為　?? 　．

三、解答題（本題共3小題，每小題6分，共18分）

17．計算：（﹣）﹣1﹣|﹣1|+3tan30°+0．

18．先化簡，再求值：

（），請在﹣3，0，1，3中選擇一個適當的數作為x值．

19．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

（1）用尺規作圖作AB邊上的垂直平分線DE，交AC于點D，交AB于點E．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

（2）連接BD，求證：DE=CD．

四、解答題（本題共3小題，每小題7分，共21分）

20．某學校為了增強學生體質，決定開設以下體育課外活動項目：A籃球、B乒乓球、C跳繩、D踢毽子，為了解學生最喜歡哪一種活動項目，隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成了兩幅不完整的統計圖，請回答下列問題：

（1）這次被調查的學生共有　?? 　人；

（2）請你將條形統計圖補充完成；

（3）在平時的乒乓球項目訓練中，甲、乙、丙、丁四人表現優秀，現決定從這四名同學中任選兩名參加乒乓球比賽，求恰好選中甲、乙兩位同學的概率（用樹狀圖或列表法解答）．

21．為促進我市經濟的快速發展，加快道路建設，某高速公路建設工程中需修隧道AB，如圖，在山外一點C測得BC距離為200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的長．（參考數據：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精確到個位）

22．某種商品的標價為400元/件，經過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同．

（1）求該種商品每次降價的百分率；

（2）若該種商品進價為300元/件，兩次降價共售出此種商品100件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元．問第一次降價后至少要售出該種商品多少件？

五、解答題（本題共3小題，每小題9分，共27分）

23．直線y=kx+b與反比例函數y=（x＜0）的圖象交于點A（﹣1，m），與x軸交于點B（1，0）

（1）求m的值；

（2）求直線AB的解析式；

（3）若直線x=t（t＞1）與直線y=kx+b交于點M，與x軸交于點N，連接AN，S△AMN=，求t的值．

24．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB=∠AEC．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）求證：CE2=EH?EA；

（3）若⊙O的半徑為5，sinA=，求BH的長．

25．把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點A出發，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當點P移動到點B時，點P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）．

（1）用含t的代數式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；

（2）連接PE，設四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；

（3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形．

2017年廣東省惠州市惠陽區中考數學模擬試卷題參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分．）

1．的倒數是（）

A．﹣2????????????? B．2????????????? C．????????????? D．

【考點】17：倒數．

【分析】根據倒數的定義求解．

【解答】解：﹣的倒數是﹣2．

故選：A．

2．下列圖案中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】R5：中心對稱圖形；P3：軸對稱圖形．

【分析】根據中心對稱圖形的定義旋轉180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，以及軸對稱圖形的定義即可判斷出．

【解答】解：A、∵此圖形旋轉180°后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

B、∵此圖形旋轉180°后能與原圖形重合，∴此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項正確；

C、∵此圖形旋轉180°后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

D、∵此圖形旋轉180°后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤．

故選：B．

3．中國倡導的“一帶一路”建設將促進我國與世界各國的互利合作，根據規劃，“一帶一路”地區覆蓋總人口約為4400000000人，這個數用科學記數法表示為（）

A．44×108????????????? B．4.4×109????????????? C．4.4×108????????????? D．4.4×1010

【考點】1I：科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：4 400 000 000=4.4×109，

故選：B．

4．2010年3月份，某市市區一周空氣質量報告中某項污染指數的數據是：31，35，31，34，30，32，31，這組數據的中位數、眾數分別是（）

A．32，31????????????? B．31，32????????????? C．31，31????????????? D．32，35

【考點】W5：眾數；W4：中位數．

【分析】利用中位數及眾數的定義確定答案即可．

【解答】解：∵數據31出現了3次，最多，

∴眾數為31，

∵排序后位于中間位置的數是31，

∴中位數是31，

故選C．

5．如圖，直線a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，則∠1的度數為（）

A．35°????????????? B．45°????????????? C．50°????????????? D．55°

【考點】JA：平行線的性質．

【分析】根據兩直線平行，同位角相等可得∠4=∠2，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解．

【解答】解：如圖，∵直線a∥b，

∴∠4=∠2=55°，

∴∠1=∠3﹣∠4=100°﹣55°=45°．

故選B．

6．下列運算正確的是（）

A．2a+3b=5ab????????????? B．a2?a3=a5????????????? C．（2a）3=6a 3????????????? D．a6+a3=a9

【考點】47：冪的乘方與積的乘方；35：合并同類項；46：同底數冪的乘法．

【分析】直接利用合并同類項法則以及結合冪的乘方與積的乘方法則，分別化簡求出答案．

【解答】解：A、2a+3b無法計算，故此選項不合題意；

B、a2?a3=a5，正確，符合題意；

C、（2a）3=8a 3，故此選項不合題意；

D、a6+a3，無法計算，故此選項不合題意；

故選：B．

7．一元二次方程x2﹣4x+2=0的根的情況是（）

A．有兩個不相等的實數根????????????? B．有兩個相等的實數根

C．只有一個實數根????????????? D．沒有實數根

【考點】AA：根的判別式．

【分析】先計算出判別式的值，然后根據判別式的意義判定方程解的情況．

【解答】解：∵△=（﹣4）2﹣4×2=8＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根．

故選A．

8．若等腰三角形的兩邊長為3和7，則該等腰三角形的周長為（）

A．10????????????? B．13????????????? C．17????????????? D．13或17

【考點】KH：等腰三角形的性質；K6：三角形三邊關系．

【分析】因為等腰三角形的兩邊為3和7，但已知中沒有點明底邊和腰，所以有兩種情況，需要分類討論，還要注意利用三角形三邊關系考查各情況能否構成三角形．

【解答】解：當3為底時，其它兩邊都為7，3、7、7可以構成三角形，周長為17；

當3為腰時，其它兩邊為3和7，

∵3+3=6＜7，

所以不能構成三角形，故舍去，

∴答案只有17．

故選C．

9．不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】C4：在數軸上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式組．

【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數軸上即可．

【解答】解：由x＞﹣1，得x＞﹣1，

由2x≤4，得x≤2，

∴不等式組的解集是﹣1＜x≤2，

故選：B．

10．如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，動點M從點B出發以3cm/s的速度沿著邊BC﹣CD﹣DA運動，到達點A停止運動，另一動點N同時從點B出發，以1cm/s的速度沿著邊BA向點A運動，到達點A停止運動，設點M運動時間為x（s），△AMN的面積為y（cm2），則y關于x的函數圖象是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】E7：動點問題的函數圖象．

【分析】分三種情況進行討論，當0≤x≤1時，當1≤x≤2時，當2≤x≤3時，分別求得△ANM的面積，列出函數解析式，根據函數圖象進行判斷即可．

【解答】解：由題可得，BN=x，

當0≤x≤1時，M在BC邊上，BM=3x，AN=3﹣x，則

S△ANM=AN?BM，

∴y=?（3﹣x）?3x=﹣x2+x，故C選項錯誤；

當1≤x≤2時，M點在CD邊上，則

S△ANM=AN?BC，

∴y=（3﹣x）?3=﹣x+，故D選項錯誤；

當2≤x≤3時，M在AD邊上，AM=9﹣3x，

∴S△ANM=AM?AN，

∴y=?（9﹣3x）?（3﹣x）=（x﹣3）2，故B選項錯誤；

故選（A）．

二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）

11．因式分解：x2﹣36=　（x+6）（x﹣6）　．

【考點】54：因式分解﹣運用公式法．

【分析】直接用平方差公式分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

【解答】解：x2﹣36=（x+6）（x﹣6）．

12．一個多邊形的內角和為1080°，則這個多邊形的邊數是　8　．

【考點】L3：多邊形內角與外角．

【分析】n邊形的內角和是（n﹣2）?180°，如果已知多邊形的邊數，就可以得到一個關于邊數的方程，解方程就可以求出多邊形的邊數．

【解答】解：根據n邊形的內角和公式，得

（n﹣2）?180=1080，

解得n=8．

∴這個多邊形的邊數是8．

故答案為：8．

13．若△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：3，則△ABC與△A′B′C′的面積之比為　1：9　．

【考點】S7：相似三角形的性質．

【分析】根據相似三角形面積的比等于相似比的平方解答．

【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：3，

∴△ABC與△A′B′C′的面積之比為1：9．

故答案為：1：9．

14．分式方程的解是　x=﹣1　．

【考點】B2：分式方程的解．

【分析】根據解分式方程的方法可以求得分式方程的解，記住最后要進行檢驗，本題得以解決．

【解答】解：

方程兩邊同乘以2x（x﹣3），得

x﹣3=4x

解得，x=﹣1，

檢驗：當x=﹣1時，2x（x﹣3）≠0，

故原分式方程的解是x=﹣1，

故答案為：x=﹣1．

15．如圖，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD=30°，且BE=2，則CD=　4　．

【考點】M2：垂徑定理；M5：圓周角定理．

【分析】先根據圓周角定理求出∠C的度數，再由CD⊥AB可知∠CEB=90°，CD=2CE，由直角三角形的性質求出BC的長，根據勾股定理求出CE的長，進而可得出結論．

【解答】解：∵∠BAD=30°，BE=2，

∴∠C=∠BAD=30°．

∵CD⊥AB，

∴∠CEB=90°，CD=2CE，

∴BC=2BE=4，

∴CE===2，

∴CD=2CE=4．

故答案為：4．

16．如圖，在圓心角為90°的扇形OAB中，半徑OA=4，C為的中點，D、E分別為OA，OB的中點，則圖中陰影部分的面積為　2π+2﹣2　．

【考點】MO：扇形面積的計算．

【分析】連接OC、EC，由△OCD≌△OCE、OC⊥DE可得DE==2，分別求出S扇形OBC、S△OCD、S△ODE面積，根據S扇形OBC+S△OCD﹣S△ODE=S陰影部分可得．

【解答】解：連結OC，過C點作CF⊥OA于F，

∵半徑OA=4，C為的中點，D、E分別是OA、OB的中點，

∴OD=OE=2，OC=4，∠AOC=45°，

∴CF=2，

∴空白圖形ACD的面積=扇形OAC的面積﹣三角形OCD的面積

=﹣×2×2

=2π﹣2，

三角形ODE的面積=OD×OE=2，

∴圖中陰影部分的面積=扇形OAB的面積﹣空白圖形ACD的面積﹣三角形ODE的面積

=﹣（2π﹣2）﹣2

=2π+2﹣2．

故答案為：2π+2﹣2．

三、解答題（本題共3小題，每小題6分，共18分）

17．計算：（﹣）﹣1﹣|﹣1|+3tan30°+0．

【考點】2C：實數的運算；6E：零指數冪；6F：負整數指數冪；T5：特殊角的三角函數值．

【分析】原式利用零指數冪、負整數指數冪法則，絕對值的代數意義，以及特殊角的三角函數值計算即可得到結果．

【解答】解：原式=﹣4﹣+1+3×+1=﹣2．

18．先化簡，再求值：

（），請在﹣3，0，1，3中選擇一個適當的數作為x值．

【考點】6D：分式的化簡求值．

【分析】先把括號內通分，再把分子分母因式分解和除法運算化為乘法運算，然后約分得到原式=3x+15，再根據分式有意義的條件把x=1代入計算即可．

【解答】解：原式=?

=?

=3x+15，

當x=1時，原式=3+15=18．

19．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

（1）用尺規作圖作AB邊上的垂直平分線DE，交AC于點D，交AB于點E．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

（2）連接BD，求證：DE=CD．

【考點】N2：作圖—基本作圖；KG：線段垂直平分線的性質；KO：含30度角的直角三角形．

【分析】（1）利用基本作圖（作已知線段的垂直平分線）作DE垂直平分AB；

（2）先利用線段垂直平分線的性質得到DA=DB，則∠DBA=∠A=30°，再證明BD平分∠ABC，然后根據角平分線的性質定理可得到結論．

【解答】（1）解：如圖，DE為所作；

（2）證明：如圖，

∵DE垂直平分AB，

∴DA=DB，

∴∠DBA=∠A=30°，

∵∠ABC=90°﹣∠A=60°，

∴∠CBD=30°，

即BD平分∠ABC，

而DE⊥AB，DC⊥BC，

∴DE=DC．

四、解答題（本題共3小題，每小題7分，共21分）

20．某學校為了增強學生體質，決定開設以下體育課外活動項目：A籃球、B乒乓球、C跳繩、D踢毽子，為了解學生最喜歡哪一種活動項目，隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成了兩幅不完整的統計圖，請回答下列問題：

（1）這次被調查的學生共有　200　人；

（2）請你將條形統計圖補充完成；

（3）在平時的乒乓球項目訓練中，甲、乙、丙、丁四人表現優秀，現決定從這四名同學中任選兩名參加乒乓球比賽，求恰好選中甲、乙兩位同學的概率（用樹狀圖或列表法解答）．

【考點】X6：列表法與樹狀圖法；VB：扇形統計圖；VC：條形統計圖．

【分析】（1）由題意可知這次被調查的學生共有20÷=200（人）；

（2）首先求得C項目對應人數為：200﹣20﹣80﹣40=60（人），繼而可補全條形統計圖；

（3）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與恰好選中甲、乙兩位同學的情況，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）根據題意得：這次被調查的學生共有20÷=200（人）．

故答案為：200；

（2）C項目對應人數為：200﹣20﹣80﹣40=60（人）；

補充如圖．

（3）列表如下：

∵共有12種等可能的情況，恰好選中甲、乙兩位同學的有2種，

∴P（選中甲、乙）==．

21．為促進我市經濟的快速發展，加快道路建設，某高速公路建設工程中需修隧道AB，如圖，在山外一點C測得BC距離為200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的長．（參考數據：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精確到個位）

【考點】T8：解直角三角形的應用．

【分析】首先過點C作CD⊥AB于D，然后在Rt△BCD中，利用三角函數的知識，求得BD，CD的長，繼而在Rt△ACD中，利用∠CAB的正切求得AD的長，繼而求得答案．

【解答】解：過點C作CD⊥AB于D，

∵BC=200m，∠CBA=30°，

∴在Rt△BCD中，CD=BC=100m，BD=BC?cos30°=200×=100≈173（m），

∵∠CAB=54°，

在Rt△ACD中，AD=≈≈72（m），

∴AB=AD+BD=173+72≈245（m）．

答：隧道AB的長為245m．

22．某種商品的標價為400元/件，經過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同．

（1）求該種商品每次降價的百分率；

（2）若該種商品進價為300元/件，兩次降價共售出此種商品100件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元．問第一次降價后至少要售出該種商品多少件？

【考點】AD：一元二次方程的應用；C9：一元一次不等式的應用．

【分析】（1）設該種商品每次降價的百分率為x%，根據“兩次降價后的售價=原價×（1﹣降價百分比）的平方”，即可得出關于x的一元二次方程，解方程即可得出結論；

（2）設第一次降價后售出該種商品m件，則第二次降價后售出該種商品件，根據“總利潤=第一次降價后的單件利潤×銷售數量+第二次降價后的單件利潤×銷售數量”，即可得出關于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結論．

【解答】解：（1）設該種商品每次降價的百分率為x%，

依題意得：400×（1﹣x%）2=324，

解得：x=10，或x=190（舍去）．

答：該種商品每次降價的百分率為10%．

（2）設第一次降價后售出該種商品m件，則第二次降價后售出該種商品件，

第一次降價后的單件利潤為：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；

第二次降價后的單件利潤為：324﹣300=24（元/件）．

依題意得：60m+24×=36m+2400≥3210，

解得：m≥22.5．

∴m≥23．

答：為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元．第一次降價后至少要售出該種商品23件．

五、解答題（本題共3小題，每小題9分，共27分）

23．直線y=kx+b與反比例函數y=（x＜0）的圖象交于點A（﹣1，m），與x軸交于點B（1，0）

（1）求m的值；

（2）求直線AB的解析式；

（3）若直線x=t（t＞1）與直線y=kx+b交于點M，與x軸交于點N，連接AN，S△AMN=，求t的值．

【考點】G8：反比例函數與一次函數的交點問題．

【分析】（1）將點A坐標代入y=可得m的值；

（2）將點A、B坐標代入y=kx+b可得關于k、b的方程，解方程求出k、b的值，可得直線解析式；

（3）根據直線直線x=t與直線y=kx+b交于點M、與x軸交于點N表示出M、N的坐標，由S△AMN=可得關于t的方程，解方程可得t的值．

【解答】解：（1）將點A（﹣1，m）代入y=，得：m=﹣2；

（2）由（1）知點A坐標為（﹣1，﹣2），

將點A（﹣1，﹣2）、B（1，0）代入y=kx+b，

得：，

解得：，

∴直線AB的解析式為：y=x﹣1；

（3）當x=t時，y=t﹣1，

∴點M坐標為（t，t﹣1），點N坐標為（t，0），

∵S△AMN=，

∴×（t﹣1）（t+1）=，

解得：t=2或t=﹣2（舍），

∴t=2．

24．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB=∠AEC．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）求證：CE2=EH?EA；

（3）若⊙O的半徑為5，sinA=，求BH的長．

【考點】MR：圓的綜合題．

【分析】（1）由圓周角定理和已知條件證出∠ODB=∠ABC，再證出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切線；

（2）連接AC，由垂徑定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，證明△CEH∽△AEC，得出對應邊成比例，即可得出結論；

（3）連接BE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，由三角函數求出BE，再根據勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的結論求出EH，然后根據勾股定理求出BH即可．

【解答】（1）證明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，

∴∠ODB=∠ABC，

∵OF⊥BC，

∴∠BFD=90°，

∴∠ODB+∠DBF=90°，

∴∠ABC+∠DBF=90°，

即∠OBD=90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切線；

（2）證明：連接AC，如圖1所示：

∵OF⊥BC，

∴，

∴∠CAE=∠ECB，

∵∠CEA=∠HEC，

∴△CEH∽△AEC，

∴，

∴CE2=EH?EA；

（3）解：連接BE，如圖2所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵⊙O的半徑為5，sin∠BAE=，

∴AB=10，BE=AB?sin∠BAE=10×=6，

∴EA===8，

∵，

∴BE=CE=6，

∵CE2=EH?EA，

∴EH==，

在Rt△BEH中，BH===．

25．把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點A出發，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當點P移動到點B時，點P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）．

（1）用含t的代數式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；

（2）連接PE，設四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；

（3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形．

【考點】S9：相似三角形的判定與性質；H7：二次函數的最值；KH：等腰三角形的性質．

【分析】（1）根據題意以及直角三角形性質表達出CQ、AQ，從而得出結論，

（2）作PG⊥x軸，將四邊形的面積表示為S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解，

（3）根據題意以及三角形相似對邊比例性質即可得出結論．

【解答】（1）解：AP=2t

∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，

∴∠CQE=45°=∠DEF，

∴CQ=CE=t，

∴AQ=8﹣t，

t的取值范圍是：0≤t≤5；

（2）過點P作PG⊥x軸于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，

∴PG=PBSinB=（10﹣2t）

∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==

∴當（在0≤t≤5內），y有最大值，y最大值=（cm2）

（3）若AP=AQ，則有2t=8﹣t解得：（s）

若AP=PQ，如圖①：過點P作PH⊥AC，則AH=QH=，PH∥BC

∴△APH∽△ABC，

∴，

即，

解得：（s）

若AQ=PQ，如圖②：過點Q作QI⊥AB，則AI=PI=AP=t

∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，

∴△AQI∽△ABC

∴即，

解得：（s）

綜上所述，當或或時，△APQ是等腰三角形．