2017年廣東省湛江中考數(shù)學(xué)試題【解析版含答案】

2017年廣東省湛江中考數(shù)學(xué)試題【解析版含答案】

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一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1．5的相反數(shù)是（）

A．????????????? B．5????????????? C．﹣????????????? D．﹣5

2．“一帶一路”倡議提出三年以來，廣東企業(yè)到“一帶一路”國家投資越來越活躍，據(jù)商務(wù)部門發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2016年廣東省對沿線國家的實際投資額超過4000000000美元，將4000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．0.4×109????????????? B．0.4×1010????????????? C．4×109????????????? D．4×1010

3．已知∠A=70°，則∠A的補角為（）

A．110°????????????? B．70°????????????? C．30°????????????? D．20°

4．如果2是方程x2﹣3x+k=0的一個根，則常數(shù)k的值為（）

A．1????????????? B．2????????????? C．﹣1????????????? D．﹣2

5．在學(xué)校舉行“陽光少年，勵志青春”的演講比賽中，五位評委給選手小明的平分分別為：90，85，90，80，95，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）

A．95????????????? B．90????????????? C．85????????????? D．80

6．下列所述圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A．等邊三角形????????????? B．平行四邊形????????????? C．正五邊形????????????? D．圓

7．如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y=k1x（k1≠0）與雙曲線y=（k2≠0）相交于A，B兩點，已知點A的坐標(biāo)為（1，2），則點B的坐標(biāo)為（）

A．（﹣1，﹣2）????????????? B．（﹣2，﹣1）????????????? C．（﹣1，﹣1）????????????? D．（﹣2，﹣2）

8．下列運算正確的是（）

A．a(chǎn)+2a=3a2????????????? B．a(chǎn)3?a2=a5????????????? C．（a4）2=a6????????????? D．a(chǎn)4+a2=a4

9．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，則∠DAC的大小為（）

A．130°????????????? B．100°????????????? C．65°????????????? D．50°

10．如圖，已知正方形ABCD，點E是BC邊的中點，DE與AC相交于點F，連接BF，下列結(jié)論：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正確的是（）

A．①③????????????? B．②③????????????? C．①④????????????? D．②④

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

11．分解因式：a2+a=　?? 　．

12．一個n邊形的內(nèi)角和是720°，則n=　?? ?。?/p>

13．已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則a+b　?? 　0．（填“＞”，“＜”或“=”）

14．在一個不透明的盒子中，有五個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1，2，3，4，5，隨機摸出一個小球，摸出的小球標(biāo)號為偶數(shù)的概率是　?? 　．

15．已知4a+3b=1，則整式8a+6b﹣3的值為　?? ?。?/p>

16．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=3，先按圖（2）操作：將矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在邊AB上的點E處，折痕為AF；再按圖（3）操作，沿過點F的直線折疊，使點C落在EF上的點H處，折痕為FG，則A、H兩點間的距離為　?? ?。?/p>

三、解答題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）

17．計算：|﹣7|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．

18．先化簡，再求值：（+）?（x2﹣4），其中x=．

19．學(xué)校團(tuán)委組織志愿者到圖書館整理一批新進(jìn)的圖書．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？

四、解答題（本大題共3小題，每小題7分，共21分）

20．如圖，在△ABC中，∠A＞∠B．

（1）作邊AB的垂直平分線DE，與AB，BC分別相交于點D，E（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）在（1）的條件下，連接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度數(shù)．

21．如圖所示，已知四邊形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD為銳角．

（1）求證：AD⊥BF；

（2）若BF=BC，求∠ADC的度數(shù)．

22．某校為了解九年級學(xué)生的體重情況，隨機抽取了九年級部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將抽取學(xué)生的體重情況繪制如下不完整的統(tǒng)計圖表，如圖表所示，請根據(jù)圖標(biāo)信息回答下列問題：

體重頻數(shù)分布表

（1）填空：①m=　?? ?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）；

②在扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形的圓心角的度數(shù)等于　?? 　度；

（2）如果該校九年級有1000名學(xué)生，請估算九年級體重低于60千克的學(xué)生大約有多少人？

五、解答題（本大題共3小題，每小題9分，共27分）

23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+ax+b交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點，點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點，直線BP與y軸相交于點C．

（1）求拋物線y=﹣x2+ax+b的解析式；

（2）當(dāng)點P是線段BC的中點時，求點P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求sin∠OCB的值．

24．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，點E為線段OB上一點（不與O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于點C，垂足為點E，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，AF⊥PC于點F，連接CB．

（1）求證：CB是∠ECP的平分線；

（2）求證：CF=CE；

（3）當(dāng)=時，求劣弧的長度（結(jié)果保留π）

25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A，C的坐標(biāo)分別是A（0，2）和C（2，0），點D是對角線AC上一動點（不與A，C重合），連結(jié)BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．

（1）填空：點B的坐標(biāo)為　?? ??；

（2）是否存在這樣的點D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；

（3）①求證： =；

②設(shè)AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（可利用①的結(jié)論），并求出y的最小值．

2017年廣東省湛江中考數(shù)學(xué)試題參考答案解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1．5的相反數(shù)是（）

A．????????????? B．5????????????? C．﹣????????????? D．﹣5

【考點】14：相反數(shù)．

【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可．

【解答】解：根據(jù)相反數(shù)的定義有：5的相反數(shù)是﹣5．

故選：D．

2．“一帶一路”倡議提出三年以來，廣東企業(yè)到“一帶一路”國家投資越來越活躍，據(jù)商務(wù)部門發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2016年廣東省對沿線國家的實際投資額超過4000000000美元，將4000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．0.4×109????????????? B．0.4×1010????????????? C．4×109????????????? D．4×1010

【考點】1I：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是負(fù)數(shù)．

【解答】解：4000000000=4×109．

故選：C．

3．已知∠A=70°，則∠A的補角為（）

A．110°????????????? B．70°????????????? C．30°????????????? D．20°

【考點】IL：余角和補角．

【分析】由∠A的度數(shù)求出其補角即可．

【解答】解：∵∠A=70°，

∴∠A的補角為110°，

故選A

4．如果2是方程x2﹣3x+k=0的一個根，則常數(shù)k的值為（）

A．1????????????? B．2????????????? C．﹣1????????????? D．﹣2

【考點】A3：一元二次方程的解．

【分析】把x=2代入已知方程列出關(guān)于k的新方程，通過解方程來求k的值．

【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一個根，

∴22﹣3×2+k=0，

解得，k=2．

故選：B．

5．在學(xué)校舉行“陽光少年，勵志青春”的演講比賽中，五位評委給選手小明的平分分別為：90，85，90，80，95，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）

A．95????????????? B．90????????????? C．85????????????? D．80

【考點】W5：眾數(shù)．

【分析】眾數(shù)指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，根據(jù)眾數(shù)的定義就可以求解．

【解答】解：數(shù)據(jù)90出現(xiàn)了兩次，次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是90．

故選B．

6．下列所述圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A．等邊三角形????????????? B．平行四邊形????????????? C．正五邊形????????????? D．圓

【考點】R5：中心對稱圖形；P3：軸對稱圖形．

【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義對各選項進(jìn)行判斷．

【解答】解：等邊三角形為軸對稱圖形；平行四邊形為中心對稱圖形；正五邊形為軸對稱圖形；圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．

故選D．

7．如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y=k1x（k1≠0）與雙曲線y=（k2≠0）相交于A，B兩點，已知點A的坐標(biāo)為（1，2），則點B的坐標(biāo)為（）

A．（﹣1，﹣2）????????????? B．（﹣2，﹣1）????????????? C．（﹣1，﹣1）????????????? D．（﹣2，﹣2）

【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．

【分析】反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱．

【解答】解：∵點A與B關(guān)于原點對稱，

∴B點的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．

故選：A．

8．下列運算正確的是（）

A．a(chǎn)+2a=3a2????????????? B．a(chǎn)3?a2=a5????????????? C．（a4）2=a6????????????? D．a(chǎn)4+a2=a4

【考點】47：冪的乘方與積的乘方；35：合并同類項；46：同底數(shù)冪的乘法．

【分析】根據(jù)整式的加法和冪的運算法則逐一判斷即可．

【解答】解：A、a+2a=3a，此選項錯誤；

B、a3?a2=a5，此選項正確；

C、（a4）2=a8，此選項錯誤；

D、a4與a2不是同類項，不能合并，此選項錯誤；

故選：B．

9．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，則∠DAC的大小為（）

A．130°????????????? B．100°????????????? C．65°????????????? D．50°

【考點】M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．

【分析】先根據(jù)補角的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)求得∠DAC的度數(shù)．

【解答】解：∵∠CBE=50°，

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣50°=130°，

∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣130°=50°，

∵DA=DC，

∴∠DAC==65°，

故選C．

10．如圖，已知正方形ABCD，點E是BC邊的中點，DE與AC相交于點F，連接BF，下列結(jié)論：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正確的是（）

A．①③????????????? B．②③????????????? C．①④????????????? D．②④

【考點】LE：正方形的性質(zhì)．

【分析】由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF=S△ADF，故①正確，由BE=EC=BC=AD，AD∥EC，推出===，可得S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③錯誤④正確，由此即可判斷．

【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB，

在△AFD和△AFB中，

，

∴△AFD≌△AFB，

∴S△ABF=S△ADF，故①正確，

∵BE=EC=BC=AD，AD∥EC，

∴===，

∴S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，

故②③錯誤④正確，

故選C．

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

11．分解因式：a2+a=　a（a+1）　．

【考點】53：因式分解﹣提公因式法．

【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．

【解答】解：a2+a=a（a+1）．

故答案為：a（a+1）．

12．一個n邊形的內(nèi)角和是720°，則n=　6?。?/p>

【考點】L3：多邊形內(nèi)角與外角．

【分析】多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，依此列方程可求解．

【解答】解：設(shè)所求正n邊形邊數(shù)為n，

則（n﹣2）?180°=720°，

解得n=6．

13．已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則a+b?。肌?．（填“＞”，“＜”或“=”）

【考點】2A：實數(shù)大小比較；29：實數(shù)與數(shù)軸．

【分析】首先根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b的符號和二者絕對值的大小，根據(jù)“異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值”來解答即可．

【解答】解：∵a在原點左邊，b在原點右邊，

∴a＜0＜b，

∵a離開原點的距離比b離開原點的距離大，

∴|a|＞|b|，

∴a+b＜0．

故答案為：＜．

14．在一個不透明的盒子中，有五個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1，2，3，4，5，隨機摸出一個小球，摸出的小球標(biāo)號為偶數(shù)的概率是　　．

【考點】X4：概率公式．

【分析】確定出偶數(shù)有2個，然后根據(jù)概率公式列式計算即可得解．

【解答】解：∵5個小球中，標(biāo)號為偶數(shù)的有2、4這2個，

∴摸出的小球標(biāo)號為偶數(shù)的概率是，

故答案為：

15．已知4a+3b=1，則整式8a+6b﹣3的值為　﹣1　．

【考點】33：代數(shù)式求值．

【分析】先求出8a+6b的值，然后整體代入進(jìn)行計算即可得解．

【解答】解：∵4a+3b=1，

∴8a+6b=2，

8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；

故答案為：﹣1．

16．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=3，先按圖（2）操作：將矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在邊AB上的點E處，折痕為AF；再按圖（3）操作，沿過點F的直線折疊，使點C落在EF上的點H處，折痕為FG，則A、H兩點間的距離為　?。?/p>

【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；LB：矩形的性質(zhì)．

【分析】如圖3中，連接AH．由題意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根據(jù)AH=，計算即可．

【解答】解：如圖3中，連接AH．

由題意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，

∴AH===，

故答案為．

三、解答題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）

17．計算：|﹣7|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．

【考點】2C：實數(shù)的運算；6E：零指數(shù)冪；6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．

【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡求出答案．

【解答】解：原式=7﹣1+3

=9．

18．先化簡，再求值：（+）?（x2﹣4），其中x=．

【考點】6D：分式的化簡求值．

【分析】先計算括號內(nèi)分式的加法，再計算乘法即可化簡原式，將x的值代入求解可得．

【解答】解：原式=[+]?（x+2）（x﹣2）

=?（x+2）（x﹣2）

=2x，

當(dāng)x=時，

原式=2．

19．學(xué)校團(tuán)委組織志愿者到圖書館整理一批新進(jìn)的圖書．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？

【考點】9A：二元一次方程組的應(yīng)用．

【分析】設(shè)男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根據(jù)“若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．

【解答】解：設(shè)男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，

根據(jù)題意得：，

解得：．

答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．

四、解答題（本大題共3小題，每小題7分，共21分）

20．如圖，在△ABC中，∠A＞∠B．

（1）作邊AB的垂直平分線DE，與AB，BC分別相交于點D，E（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）在（1）的條件下，連接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度數(shù)．

【考點】N2：作圖—基本作圖；KG：線段垂直平分線的性質(zhì)．

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）由于DE是AB的垂直平分線，得到AE=BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB=∠B=50°，由三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

【解答】解：（1）如圖所示；

（2）∵DE是AB的垂直平分線，

∴AE=BE，

∴∠EAB=∠B=50°，

∴∠AEC=∠EAB+∠B=100°．

21．如圖所示，已知四邊形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD為銳角．

（1）求證：AD⊥BF；

（2）若BF=BC，求∠ADC的度數(shù)．

【考點】L8：菱形的性質(zhì)．

【分析】（1）連結(jié)DB、DF．根據(jù)菱形四邊相等得出AB=AD=FA，再利用SAS證明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在線段BF的垂直平分線上，又AB=AF，即A在線段BF的垂直平分線上，進(jìn)而證明AD⊥BF；

（2）設(shè)AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，證明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．

【解答】（1）證明：如圖，連結(jié)DB、DF．

∵四邊形ABCD，ADEF都是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．

在△BAD與△FAD中，

，

∴△BAD≌△FAD，

∴DB=DF，

∴D在線段BF的垂直平分線上，

∵AB=AF，

∴A在線段BF的垂直平分線上，

∴AD是線段BF的垂直平分線，

∴AD⊥BF；

（2）如圖，設(shè)AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，則四邊形BGDH是矩形，

∴DG=BH=BF．

∵BF=BC，BC=CD，

∴DG=CD．

在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，

∴∠C=30°，

∵BC∥AD，

∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．

22．某校為了解九年級學(xué)生的體重情況，隨機抽取了九年級部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將抽取學(xué)生的體重情況繪制如下不完整的統(tǒng)計圖表，如圖表所示，請根據(jù)圖標(biāo)信息回答下列問題：

體重頻數(shù)分布表

（1）填空：①m=　52?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）；

②在扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形的圓心角的度數(shù)等于　144　度；

（2）如果該校九年級有1000名學(xué)生，請估算九年級體重低于60千克的學(xué)生大約有多少人？

【考點】VB：扇形統(tǒng)計圖；V5：用樣本估計總體；V7：頻數(shù)（率）分布表．

【分析】（1）①根據(jù)D組的人數(shù)及百分比進(jìn)行計算即可得到m的值；②根據(jù)C組的百分比即可得到所在扇形的圓心角的度數(shù)；

（2）根據(jù)體重低于60千克的學(xué)生的百分比乘上九年級學(xué)生總數(shù)，即可得到九年級體重低于60千克的學(xué)生數(shù)量．

【解答】解：（1）①調(diào)查的人數(shù)為：40÷20%=200（人），

∴m=200﹣12﹣80﹣40﹣16=52；

②C組所在扇形的圓心角的度數(shù)為×360°=144°；

故答案為：52，144；

（2）九年級體重低于60千克的學(xué)生大約有×1000=720（人）．

五、解答題（本大題共3小題，每小題9分，共27分）

23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+ax+b交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點，點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點，直線BP與y軸相交于點C．

（1）求拋物線y=﹣x2+ax+b的解析式；

（2）當(dāng)點P是線段BC的中點時，求點P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求sin∠OCB的值．

【考點】HA：拋物線與x軸的交點；H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；T7：解直角三角形．

【分析】（1）將點A、B代入拋物線y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；

（2）由C點橫坐標(biāo)為0可得P點橫坐標(biāo)，將P點橫坐標(biāo)代入（1）中拋物線解析式，易得P點坐標(biāo)；

（3）由P點的坐標(biāo)可得C點坐標(biāo)，A、B、C的坐標(biāo)，利用勾股定理可得BC長，利用sin∠OCB=可得結(jié)果．

【解答】解：（1）將點A、B代入拋物線y=﹣x2+ax+b可得，

，

解得，a=4，b=﹣3，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x﹣3；

（2）∵點C在y軸上，

所以C點橫坐標(biāo)x=0，

∵點P是線段BC的中點，

∴點P橫坐標(biāo)xP==，

∵點P在拋物線y=﹣x2+4x﹣3上，

∴yP=﹣3=，

∴點P的坐標(biāo)為（，）；

（3）∵點P的坐標(biāo)為（，），點P是線段BC的中點，

∴點C的縱坐標(biāo)為2×﹣0=，

∴點C的坐標(biāo)為（0，），

∴BC==，

∴sin∠OCB===．

24．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，點E為線段OB上一點（不與O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于點C，垂足為點E，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，AF⊥PC于點F，連接CB．

（1）求證：CB是∠ECP的平分線；

（2）求證：CF=CE；

（3）當(dāng)=時，求劣弧的長度（結(jié)果保留π）

【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；M2：垂徑定理；MC：切線的性質(zhì)；MN：弧長的計算．

【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等證明即可；

（2）欲證明CF=CE，只要證明△ACF≌△ACE即可；

（3）作BM⊥PF于M．則CE=CM=CF，設(shè)CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，求出tan∠BCM的值即可解決問題；

【解答】（1）證明：∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵PF是⊙O的切線，CE⊥AB，

∴∠OCP=∠CEB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，

∴∠BCE=∠BCP，

∴BC平分∠PCE．

（2）證明：連接AC．

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵∠BCP=∠BCE，

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，

∴△ACF≌△ACE，

∴CF=CE．

（3）解：作BM⊥PF于M．則CE=CM=CF，設(shè)CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，

∵△BMC∽△PMB，

∴=，

∴BM2=CM?PM=3a2，

∴BM=a，

∴tan∠BCM==，

∴∠BCM=30°，

∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，

∴的長==π．

25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A，C的坐標(biāo)分別是A（0，2）和C（2，0），點D是對角線AC上一動點（不與A，C重合），連結(jié)BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．

（1）填空：點B的坐標(biāo)為?。?，2）??；

（2）是否存在這樣的點D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；

（3）①求證： =；

②設(shè)AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（可利用①的結(jié)論），并求出y的最小值．

【考點】SO：相似形綜合題．

【分析】（1）求出AB、BC的長即可解決問題；

（2）存在．連接BE，取BE的中點K，連接DK、KC．首先證明B、D、E、C四點共圓，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等邊三角形，推出DC=BC=2，由此即可解決問題；

（3）①由（2）可知，B、D、E、C四點共圓，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解決問題；

②作DH⊥AB于H．想辦法用x表示BD、DE的長，構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問題；

【解答】解：（1）∵四邊形AOCB是矩形，

∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，

∴B（2，2）．

故答案為（2，2）．

（2）存在．理由如下：

連接BE，取BE的中點K，連接DK、KC．

∵∠BDE=∠BCE=90°，

∴KD=KB=KE=KC，

∴B、D、E、C四點共圓，

∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，

∵tan∠ACO==，

∴∠ACO=30°，∠ACB=60°

①如圖1中，△DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED=EC，

∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，

∴∠DBC=∠BCD=60°，

∴△DBC是等邊三角形，

∴DC=BC=2，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，

∴AC=2AO=4，

∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．

∴當(dāng)AD=2時，△DEC是等腰三角形．

②如圖2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，

∴∠ABD=∠ADB=75°，

∴AB=AD=2，

綜上所述，滿足條件的AD的值為2或2．

（3）①由（2）可知，B、D、E、C四點共圓，

∴∠DBC=∠DCE=30°，

∴tan∠DBE=，

∴=．

②如圖2中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，

∴DH=AD=x，AH==x，

∴BH=2﹣x，

在Rt△BDH中，BD==，

∴DE=BD=?，

∴矩形BDEF的面積為y= []2=（x2﹣6x+12），

即y=x2﹣2x+4，

∴y=（x﹣3）2+，

∵＞0，

∴x=3時，y有最小值．