2018年江門市中考九年級數(shù)學模擬試題【精編解析版】
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一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)在每小題列出的四個選項中,只有一個是正確的,請把答題卡上對應題目所選選項涂黑.
1.下面有理數(shù)中,最大的數(shù)是()
A.????????????? B.0????????????? C.﹣1????????????? D.﹣3
2.光的速度約為300 000 000米/秒,用科學記數(shù)法表示為()
A.3×106????????????? B.3×107????????????? C.3×108????????????? D.3×109
3.計算(﹣3x)2的結果正確的是()
A.﹣3x2????????????? B.6x2????????????? C.﹣9x2????????????? D.9x2
4.下列圖形中,不是中心對稱圖形的是()
A.等邊三角形????????????? B.平行四邊形????????????? C.菱形????????????? D.矩形
5.若∠α+∠θ=90°,∠β=∠θ,則∠α與∠β的關系是()
A.∠α與∠β互余????????????? B.∠α與∠β互補????????????? C.∠α與∠β相等????????????? D.∠α大于∠β
6.一個不透明的布袋里裝有9個只有顏色不同球,其中4個紅球,5個白球,從布袋中隨機摸出1個球,摸出的球是紅球的概率為()
A.????????????? B.
????????????? C.
????????????? D.
7.已知三角形兩邊的長分別是4和10,則此三角形第三邊的長可能是()
A.5????????????? B.6????????????? C.12????????????? D.16
8.方程x2﹣2x+3=0的根的情況是()
A.有兩個不相等的實數(shù)根????????????? B.有兩個相等的實數(shù)根
C.沒有實數(shù)根????????????? D.有一個實數(shù)根
9.點A的坐標為(2,3),點B的坐標為(﹣2,3),則點A與點B()
A.關于x軸對稱????????????? B.關于y軸對稱????????????? C.關于原點對稱????????????? D.不是對稱點
10.如圖,在矩形ABCD中,動點P從點B出發(fā),沿BC、CD、DA運動至點A停止,設點P運動的路程為x,△ABP的面積為y,如果y關于x的函數(shù)圖象如圖所示,則△ABC的面積是()
A.10????????????? B.16????????????? C.18????????????? D.20
二、填空題(本大題6小題,每小題4分,共24分)請將下列各題的正確答案填寫在答題卡相應的位置上.
11.函數(shù)中自變量x的取值范圍是.
12.分解因式:ax2﹣6ax+9a=.
13.正八邊形的一個外角等于(度).
14.不等式組的解集是.
15.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD∥AB,若∠ABD=60°,則∠ADC的度數(shù)是.
16.如圖,半圓的直徑AB=10,P為AB上一點,點C,D為半圓上的三等分點,則圖中陰影部分的面積等于.
三、解答題(一)(本大題3小題,每小題6分,共18分)
17.計算:﹣2sin45°﹣(1+
)0+2﹣1.
18.先化簡,再求值:( +
)?(x2﹣1),其中x=
.
19.如圖,△ABC中,AB=AC.
(1)以點B為頂點,作∠CBD=∠ABC(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)在(1)的條件下,證明:AC∥BD.
四、解答題(二)(本大題3小題,每小題7分,共21分)
20.新學期開學初,王剛同學對部分同學暑假在家做家務的時間進行了抽樣調查(時間取整數(shù)小時),所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表:
時間分組 | 0.5~20.5 | 20.5~40.5 | 40.5~60.5 | 60.5~80.5 | 80.5~100.5 |
頻??? 數(shù) | 20 | 25 | 30 | 15 | 10 |
(1)王剛同學抽取樣本的容量是多少?
(2)請你根據(jù)表中數(shù)據(jù)補全圖中的頻數(shù)分布直方圖;
(3)若該學校有學生1260人,那么大約有多少學生在暑假做家務的時間在40.5~100.5小時之間?
21.某公園的門票價格規(guī)定如下表:
購票人數(shù) | 50人以下 | 51~100人 | 100人以上 |
票價 | 13元/人 | 11元/人 | 9元/人 |
某學校七年級1班和2班兩個班共104人去游園,其中1班不足50人,2班超過50人.
(1)若以班為單位分別購票,一共應付1240元,求兩班各有多少人?
(2)若兩班聯(lián)合購票可少付多少元?
22.如圖,在平行四邊形ABCD中,BD的垂直平分線EF與AD交于點E,與BC交于點F,與BD交于點O.
(1)證明:OE=OF;
(2)證明:四邊形BEDF是菱形.
五、解答題(三)(本大題3小題,每小題9分,共27分)
23.如圖,點A,B在反比例函數(shù)y=的圖象上,點A的坐標為(
,3),點C在x軸上,且使△AOC是等邊三角形,BC∥OA.
(1)求反比例函數(shù)的解析式和OC的長;
(2)求點B的坐標;
(3)求直線BC的函數(shù)解析式.
24.如圖,在正方形ABCD中,點E是AD上的點,點F是BC的延長線一點,CF=DE,連結BE和EF,EF與CD交于點G,且∠FBE=∠FEB.
(1)過點F作FH⊥BE于點H,證明:△ABE∽△HFB;
(2)證明:BE2=2AE?BF;
(3)若DG=1,求AE值.
25.如圖,在直角坐標系中,圓A與x軸交于點B、C,與y軸相切于點D,拋物線y=x+4經(jīng)過B、C、D三點.
(1)求圓心A的坐標;
(2)證明:直線y=﹣與圓A相切于點B;
(3)在x軸下方的拋物線上,是否存在一點F,使△CDF的面積最大,若存在,求出點F的坐標.
2018年江門市中考九年級數(shù)學模擬試題參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)在每小題列出的四個選項中,只有一個是正確的,請把答題卡上對應題目所選選項涂黑.
1.下面有理數(shù)中,最大的數(shù)是()
A.????????????? B.0????????????? C.﹣1????????????? D.﹣3
【考點】有理數(shù)大小比較.
【分析】有理數(shù)大小比較的法則:①正數(shù)都大于0;②負數(shù)都小于0;③正數(shù)大于一切負數(shù);④兩個負數(shù),絕對值大的其值反而小,據(jù)此判斷即可.
【解答】解:根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法,可得
﹣3<﹣1<﹣<0,
∴各個有理數(shù)中,最大的數(shù)是0.
故選:B.
【點評】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法,要熟練掌握,解答此題的關鍵是要明確:①正數(shù)都大于0;②負數(shù)都小于0;③正數(shù)大于一切負數(shù);④兩個負數(shù),絕對值大的其值反而小.
2.光的速度約為300 000 000米/秒,用科學記數(shù)法表示為()
A.3×106????????????? B.3×107????????????? C.3×108????????????? D.3×109
【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>1時,n是正數(shù);當原數(shù)的絕對值<1時,n是負數(shù).
【解答】解:300 000 000=3×108,
故選:C.
【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.
3.計算(﹣3x)2的結果正確的是()
A.﹣3x2????????????? B.6x2????????????? C.﹣9x2????????????? D.9x2
【考點】冪的乘方與積的乘方.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)(ab)m=am?bm易得(﹣3x)2=9x2.
【解答】解:原式=9x2.
故選D.
【點評】本題考查了冪的乘方與積的乘方:(ab)m=am?bm(m為正整數(shù)).
4.下列圖形中,不是中心對稱圖形的是()
A.等邊三角形????????????? B.平行四邊形????????????? C.菱形????????????? D.矩形
【考點】中心對稱圖形.
【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形就叫做中心對稱圖形,這個點叫做對稱中心進行分析.
【解答】解:A、等邊三角形不是中心對稱圖形,故此選項正確;
B、平行四邊形是中心對稱圖形,故此選項錯誤;
C、菱形是中心對稱圖形,故此選項錯誤;
D、矩形是中心對稱圖形,故此選項錯誤;
故選:A.
【點評】此題主要考查了中心對稱圖形的定義,關鍵是掌握中心對稱圖形要尋找對稱中心,旋轉180度后兩部分重合.
5.若∠α+∠θ=90°,∠β=∠θ,則∠α與∠β的關系是()
A.∠α與∠β互余????????????? B.∠α與∠β互補????????????? C.∠α與∠β相等????????????? D.∠α大于∠β
【考點】余角和補角.
【分析】根據(jù)余角的定義解答即可.
【解答】解:∵∠α+∠θ=90°,∠β=∠θ,
∴∠α+∠β=90°,
∴∠α與∠β互余,
故選A.
【點評】主要考查了余角和補角的概念以及運用.互為余角的兩角的和為90°,互為補角的兩角之和為180°.解此題的關鍵是能準確的從題意中找出這兩個角之間的數(shù)量關系,從而判斷出兩角之間的關系.
6.一個不透明的布袋里裝有9個只有顏色不同球,其中4個紅球,5個白球,從布袋中隨機摸出1個球,摸出的球是紅球的概率為()
A.????????????? B.
????????????? C.
????????????? D.
【考點】概率公式.
【分析】由一個不透明的布袋里裝有9個只有顏色不同球,其中4個紅球,5個白球,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:∵一個不透明的布袋里裝有9個只有顏色不同球,其中4個紅球,5個白球,
∴從布袋中隨機摸出1個球,摸出的球是紅球的概率為:.
故選B.
【點評】此題考查了概率公式的應用.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
7.已知三角形兩邊的長分別是4和10,則此三角形第三邊的長可能是()
A.5????????????? B.6????????????? C.12????????????? D.16
【考點】三角形三邊關系.
【分析】設第三邊的長為x,再由三角形的三邊關系即可得出結論.
【解答】解:設第三邊的長為x,
∵三角形兩邊的長分別是4和10,
∴10﹣4<x<10+4,即6<x<14.
故選C.
【點評】本題考查的是三角形的三邊關系,熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關鍵.
8.方程x2﹣2x+3=0的根的情況是()
A.有兩個不相等的實數(shù)根????????????? B.有兩個相等的實數(shù)根
C.沒有實數(shù)根????????????? D.有一個實數(shù)根
【考點】根的判別式.
【分析】把a=1,b=﹣2,c=3代入△=b2﹣4ac進行計算,然后根據(jù)計算結果判斷方程根的情況.
【解答】解:∵a=1,b=﹣2,c=3,
∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣8<0,
所以方程沒有實數(shù)根.
故選:C.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的根的判別式△=b2﹣4ac.當△>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0時,方程沒有實數(shù)根.
9.點A的坐標為(2,3),點B的坐標為(﹣2,3),則點A與點B()
A.關于x軸對稱????????????? B.關于y軸對稱????????????? C.關于原點對稱????????????? D.不是對稱點
【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標;關于原點對稱的點的坐標.
【分析】根據(jù)關于y軸對稱的點的縱坐標相等,橫坐標互為相反數(shù),可得答案.
【解答】解:由A的坐標為(2,3),點B的坐標為(﹣2,3),得
點A與點B關于y軸對稱,
故選:B.
【點評】本題考查了關于y軸對稱的點的坐標,利用關于y軸對稱的點的縱坐標相等,橫坐標互為相反數(shù)是解題關鍵.
10.如圖,在矩形ABCD中,動點P從點B出發(fā),沿BC、CD、DA運動至點A停止,設點P運動的路程為x,△ABP的面積為y,如果y關于x的函數(shù)圖象如圖所示,則△ABC的面積是()
A.10????????????? B.16????????????? C.18????????????? D.20
【考點】動點問題的函數(shù)圖象.
【專題】壓軸題;動點型.
【分析】本題難點在于應找到面積不變的開始與結束,得到BC,CD的具體值.
【解答】解:動點P從點B出發(fā),沿BC、CD、DA運動至點A停止,而當點P運動到點C,D之間時,△ABP的面積不變.函數(shù)圖象上橫軸表示點P運動的路程,x=4時,y開始不變,說明BC=4,x=9時,接著變化,說明CD=9﹣4=5.
∴△ABC的面積為=×4×5=10.
故選A.
【點評】解決本題應首先看清橫軸和縱軸表示的量.
二、填空題(本大題6小題,每小題4分,共24分)請將下列各題的正確答案填寫在答題卡相應的位置上.
11.函數(shù)中自變量x的取值范圍是 x≥2 .
【考點】函數(shù)自變量的取值范圍.
【分析】根據(jù)二次根式的性質,被開方數(shù)大于等于0,就可以求解.
【解答】解:依題意,得x﹣2≥0,
解得:x≥2,
故答案為:x≥2.
【點評】本題主要考查函數(shù)自變量的取值范圍,考查的知識點為:二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).
12.分解因式:ax2﹣6ax+9a= a(x﹣3)2 .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【專題】因式分解.
【分析】先提取公因式a,再根據(jù)完全平方公式進行二次分解.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.
【解答】解:ax2﹣6ax+9a
=a(x2﹣6x+9)﹣﹣(提取公因式)
=a(x﹣3)2.﹣﹣(完全平方公式)
故答案為:a(x﹣3)2.
【點評】本題考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解,注意分解要徹底.
13.正八邊形的一個外角等于 45 (度).
【考點】多邊形內(nèi)角與外角.
【分析】利用正八邊形的外角和等于360度即可求出答案.
【解答】解:360°÷8=45°,
故答案為:45.
【點評】本題主要考查了多邊形的外角和定理,任何一個多邊形的外角和都是360°.
14.不等式組的解集是 ﹣1<x≤1 .
【考點】解一元一次不等式組.
【專題】計算題.
【分析】先解①得x>﹣1,然后根據(jù)大小小大中間找確定不等式組的解集.
【解答】解:,
解①得x>﹣1,
所以不等式組的解集為﹣1<x≤1.
故答案為﹣1<x≤1.
【點評】本題考查了解一元一次不等式組的解法:解一元一次不等式組時,一般先求出其中各不等式的解集,再求出這些解集的公共部分,利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.解集的規(guī)律:同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到.
15.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD∥AB,若∠ABD=60°,則∠ADC的度數(shù)是 30° .
【考點】圓周角定理.
【分析】利用圓周角定理和直角三角形的兩個銳角互余的性質求得∠DAB=25°;然后根據(jù)平行線的性質、等量代換可以求得∠ADC的度數(shù).
【解答】解:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°(直徑所對的圓周角是直角);
又∵∠ABD=60°,
∴∠DAB=30°(直角三角形的兩個銳角互余);
又∵CD∥AB,
∴∠ADC=∠DAB(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),
∴∠ADC=30°(等量代換).
故答案為:30°.
【點評】本題綜合考查了圓周角定理、平行線的性質.在圓中,直徑所對的圓周角是直角.
16.如圖,半圓的直徑AB=10,P為AB上一點,點C,D為半圓上的三等分點,則圖中陰影部分的面積等于 .
【考點】扇形面積的計算.
【分析】連接CO,DO,利用等底等高的三角形面積相等可知S陰影=S扇形COD,利用扇形的面積公式計算即可.
【解答】解:連接CO,DO,
∵C,D是以AB為直徑的半圓上的三等分點,
∴∠COD=60°,
∵△PCD的面積等于△OCD的面積,
∴都加上CD之間弓形的面積得出S陰影=S扇形OCD==
,
故答案為:.
【點評】本題考查了扇形面積的計算.根據(jù)圖形推知圖中陰影部分面積=扇形OCD的面積是解題的關鍵.
三、解答題(一)(本大題3小題,每小題6分,共18分)
17.計算:﹣2sin45°﹣(1+
)0+2﹣1.
【考點】實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;負整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】本題涉及零指數(shù)冪、負指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值3個考點.在計算時,需要針對每個考點分別進行計算,然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結果.
【解答】解:原式=﹣2×
﹣1+
=﹣.
【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力,是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題目的關鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值等考點的運算.
18.先化簡,再求值:( +
)?(x2﹣1),其中x=
.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡,再把x的值代入進行計算即可.
【解答】解:原式=?(x2﹣1)
=2x+2+x﹣1
=3x+1,
當x=時,原式=
.
【點評】本題考查的是分式的化簡求值,熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵.
19.如圖,△ABC中,AB=AC.
(1)以點B為頂點,作∠CBD=∠ABC(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)在(1)的條件下,證明:AC∥BD.
【考點】作圖—基本作圖;平行線的判定.
【專題】作圖題.
【分析】(1)利用基本作圖(作一個角等于已知角)作∠CBD=∠ABC;
(2)利用等腰三角形的性質得∠ABC=∠C,則利用等量代換得到∠CBD=∠C,則根據(jù)平行線的判定可判斷AC∥BD.
【解答】(1)解:如圖,∠CBD為所作;
(2)證明:由(1)得∠CBD=∠ABC,
又∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∴∠CBD=∠C,
∴AC∥BD.
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖:作一條線段等于已知線段;作一個角等于已知角;作已知線段的垂直平分線;作已知角的角平分線;過一點作已知直線的垂線.
四、解答題(二)(本大題3小題,每小題7分,共21分)
20.新學期開學初,王剛同學對部分同學暑假在家做家務的時間進行了抽樣調查(時間取整數(shù)小時),所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表:
時間分組 | 0.5~20.5 | 20.5~40.5 | 40.5~60.5 | 60.5~80.5 | 80.5~100.5 |
頻??? 數(shù) | 20 | 25 | 30 | 15 | 10 |
(1)王剛同學抽取樣本的容量是多少?
(2)請你根據(jù)表中數(shù)據(jù)補全圖中的頻數(shù)分布直方圖;
(3)若該學校有學生1260人,那么大約有多少學生在暑假做家務的時間在40.5~100.5小時之間?
【考點】頻數(shù)(率)分布直方圖;用樣本估計總體;頻數(shù)(率)分布表.
【分析】(1)求得各組的頻數(shù)的和即可求得樣本容量;
(2)根據(jù)(1)即可直接補全直方圖;
(3)用總人數(shù)乘以對應的比例即可求解.
【解答】解:(1)樣本容量是20+25+30+15+10=100;
(2)
;????????
(3)樣本中,暑假做家務的時間在40.5~100.5小時之間的人數(shù)為55人,
∴該校有人在暑假做家務的時間在40.5~100.5小時之間.
【點評】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力;利用統(tǒng)計圖獲取信息時,必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖,才能作出正確的判斷和解決問題.
21.某公園的門票價格規(guī)定如下表:
購票人數(shù) | 50人以下 | 51~100人 | 100人以上 |
票價 | 13元/人 | 11元/人 | 9元/人 |
某學校七年級1班和2班兩個班共104人去游園,其中1班不足50人,2班超過50人.
(1)若以班為單位分別購票,一共應付1240元,求兩班各有多少人?
(2)若兩班聯(lián)合購票可少付多少元?
【考點】二元一次方程組的應用.
【分析】(1)設一班有x人,則二班有y人,根據(jù)兩班分別購票的費用為1240元建立方程組求出其解即可;
(2)運用聯(lián)合購票的費用就可以得出結論.
【解答】解:(1)設1班和2班分別有x人、y人,
依題意得,
解得x=48,y=56,
答:1班和2班分別有48人和56人;?????????????
(2)兩班聯(lián)合購票,應付104×9═936元,可少付1240﹣936=304元.
【點評】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用,二元一次方程組的解法的運用,有理數(shù)大小比較的運用,設計方案的運用,解答時建立方程求出各班人數(shù)是關鍵.
22.如圖,在平行四邊形ABCD中,BD的垂直平分線EF與AD交于點E,與BC交于點F,與BD交于點O.
(1)證明:OE=OF;
(2)證明:四邊形BEDF是菱形.
【考點】菱形的判定;全等三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.
【專題】證明題.
【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質和ASA證明△ODE與△OBF全等,再利用全等三角形的性質證明即可;
(2)根據(jù)菱形的判定解答即可.
【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OD=OB,AD∥BC,
∴∠EDB=∠FBD,
又∵∠EOD=∠FOB,
在△ODE與△OBF中,
,
∴△ODE≌△OBF,
∴OE=OF;???????????????????????
(2)∵EF⊥BD,
∴四邊形EBFD的對角線垂直互相平分,
∴四邊形EBFD是菱形.
【點評】此題考查菱形的判定,關鍵是根據(jù)ASA證明△ODE與△OBF全等.
五、解答題(三)(本大題3小題,每小題9分,共27分)
23.如圖,點A,B在反比例函數(shù)y=的圖象上,點A的坐標為(
,3),點C在x軸上,且使△AOC是等邊三角形,BC∥OA.
(1)求反比例函數(shù)的解析式和OC的長;
(2)求點B的坐標;
(3)求直線BC的函數(shù)解析式.
【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;等邊三角形的性質.
【分析】(1)把點A的坐標代入函數(shù)解析式,利用待定系數(shù)法求得m的值;結合等邊三角形的性質和勾股定理來求OC的長度;
(2)過點B作BE⊥x軸于點E,設CE=a,則,
,把點B的坐標代入函數(shù)解析式,列出關于a的方程,通過解方程求得a的值,易得點B的坐標;
(3)設直線BC為y=kx+b,則B、C兩點的坐標分別代入函數(shù)解析式,列出方程組,通過解方程組求得系數(shù)的值.
【解答】解:(1)點A(,3)在反比例函數(shù)
的圖象上,
∴,
,
∴,
.
(2)過點B作BE⊥x軸于點E,
設CE=a,則,
,
∵點B在上,
∴,
即,
解得,
∵a>0,
∴,
,
,
∴B的坐標為(,
);
(3)設直線BC為y=kx+b,則,
兩式相減得,,
,
∴,
∴所求的直線解析式是.
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式以及正三角形的性質.解題時,注意函數(shù)圖象上點的坐標的特征的應用.
24.如圖,在正方形ABCD中,點E是AD上的點,點F是BC的延長線一點,CF=DE,連結BE和EF,EF與CD交于點G,且∠FBE=∠FEB.
(1)過點F作FH⊥BE于點H,證明:△ABE∽△HFB;
(2)證明:BE2=2AE?BF;
(3)若DG=1,求AE值.
【考點】相似形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質得到∠AEB=∠EBF,由已知條件得到∠A=∠BHF,根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結論;
(2)根據(jù)已知條件得到FH是等腰△FBE底邊上的高,求得BH=BE,由根據(jù)相似三角形的性質得到
,等量代換即可得到結論;
(3)由已知條件得到正方形ABCD的邊長為2,設AE=k(0<k<2),則DE═2﹣k,BF=4﹣k,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結果.
【解答】(1)證明:∵在正方形ABCD中,AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBF,
又∵∠A=90°,F(xiàn)H⊥BE,
∴∠A=∠BHF,
∴△ABE∽△HFB;
(2)∵∠FBE=∠FEB,
∴BF=EF,F(xiàn)H⊥BE,
∴FH是等腰△FBE底邊上的高,
∴BH=BE,
由(1)得,,
∴,
∴BE2=2AE?BF;
(3)解:∵DG═1,
∴正方形ABCD的邊長為2,
設AE=k(0<k<2),則DE═2﹣k,BF=4﹣k,
∴在Rt△ABM中,BE2=AB2+AE2=4+k2,
由BE2=2AE?BF,得4+k2=2k(4﹣k),
即3k2﹣8k+4=0,解得,k=2,
∵k≠2,
∴AE=.
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質,正方形的性質,等腰三角形的性質,勾股定理,平行線的性質,證得△ABE∽△HFB是解題的關鍵.
25.如圖,在直角坐標系中,圓A與x軸交于點B、C,與y軸相切于點D,拋物線y=x+4經(jīng)過B、C、D三點.
(1)求圓心A的坐標;
(2)證明:直線y=﹣與圓A相切于點B;
(3)在x軸下方的拋物線上,是否存在一點F,使△CDF的面積最大,若存在,求出點F的坐標.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)垂徑定理,可得圓心在弦的垂直平分線上,根據(jù)切線的性質,可得圓心在過切點的直線上,可得答案;
(2)根據(jù)全等三角形的判定與性質,可得∠ABH=∠ADH,根據(jù)切線的判定,可得答案;
(3)根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標,三角形面積的和差,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質,可得答案.
【解答】解:(1)令,即(x﹣2)(x﹣8)=0,解得x1=2,x2=8,
∴拋物線與x軸的交點坐標為B(2,0),C(8,0),與y軸交于點D(0,4),
∵BC的中點為(5,0),圓心A在BC的垂直平分線上,
∴點A的橫坐標為5,
∵圓A與y軸相切于點D,連結AD,則AD平行于x軸,
∴點A的縱坐標為4,點A的坐標為(5,4);?????????????????
(2)證明:如圖1,
,
直線與y軸交于點H為(0,
),
與x軸的交點B(2,0)在圓上,
連結AB,AD,AH,
,
,
在△ABH和△ADH中,
,
∴△ABH≌△ADH(SSS),
∴∠ABH=∠ADH,
∵圓A與y軸相切于點D,∴∠ADH=90°,
∴∠ABH=∠ADH=90°,
直線與圓A相切于點B;
(3)存在點F使△CDF的面積最大.
如圖2,
連結CD,DF,CF,
設CD的解析式為y=kx+b,將C、D點坐標代入,解得,
故CD的解析式為y=﹣x+4.
設點F的坐標為(t,),設G點坐標為(t,﹣
t+4),(2<t<8),
FG=﹣t+4﹣(
)=﹣
t2+2t,
S△CDF=S△DFG+S△CFG=FG?xE+
FG?(xc﹣xE)=
FG?xC=
×8×(﹣
t2+2t)
=﹣t2+8t=﹣(t﹣4)2+16,
當t=4時, =﹣2
當t=4時,△DCF的面積最大,此時,點F的坐標為(4,﹣2).
【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用垂徑定理、切線的性質是解題關鍵;利用全等三角形的判定與性質是解題關鍵;利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關鍵.
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