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    2017年廣東省深圳市中考數學試題【精編解析版】

    2017-12-01 16:42:05文/王蕊

    2017年廣東省深圳市中考數學試題【精編解析版】

    由于版式的問題,試題可能會出現亂碼的現象,為了方便您的閱讀請點擊全屏查看

    一、選擇題

    1.﹣2的絕對值是()

    A.﹣2????????????? B.2????????????? C.﹣????????????? D.

    2.圖中立體圖形的主視圖是()

    A.????????????? B.????????????? C.????????????? D.

    3.隨著“一帶一路”建設的不斷發展,我國已與多個國家建立了經貿合作關系,去年中哈鐵路(中國至哈薩克斯坦)運輸量達8200000噸,將8200000用科學記數法表示為()

    A.8.2×105????????????? B.82×105????????????? C.8.2×106????????????? D.82×107

    4.觀察下列圖形,其中既是軸對稱又是中心對稱圖形的是()

    A.????????????? B.????????????? C.????????????? D.

    5.下列選項中,哪個不可以得到l1∥l2?()

    A.∠1=∠2????????????? B.∠2=∠3????????????? C.∠3=∠5????????????? D.∠3+∠4=180°

    6.不等式組的解集為()

    A.x>﹣1????????????? B.x<3????????????? C.x<﹣1或x>3????????????? D.﹣1<x<3

    7.一球鞋廠,現打折促銷賣出330雙球鞋,比上個月多賣10%,設上個月賣出x雙,列出方程()

    A.10%x=330????????????? B.(1﹣10%)x=330????????????? C.(1﹣10%)2x=330????????????? D.(1+10%)x=330

    8.如圖,已知線段AB,分別以A、B為圓心,大于AB為半徑作弧,連接弧的交點得到直線l,在直線l上取一點C,使得∠CAB=25°,延長AC至M,求∠BCM的度數為()

    A.40°????????????? B.50°????????????? C.60°????????????? D.70°

    9.下列哪一個是假命題()

    A.五邊形外角和為360°

    B.切線垂直于經過切點的半徑

    C.(3,﹣2)關于y軸的對稱點為(﹣3,2)

    D.拋物線y=x2﹣4x+2017對稱軸為直線x=2

    10.某共享單車前a公里1元,超過a公里的,每公里2元,若要使使用該共享單車50%的人只花1元錢,a應該要取什么數()

    A.平均數????????????? B.中位數????????????? C.眾數????????????? D.方差

    11.如圖,學校環保社成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度,他們先在點C處測得樹頂B的仰角為60°,然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30°,已知斜坡CD的長度為20m,DE的長為10cm,則樹AB的高度是()m.

    A.20????????????? B.30????????????? C.30????????????? D.40

    12.如圖,正方形ABCD的邊長是3,BP=CQ,連接AQ,DP交于點O,并分別與邊CD,BC交于點F,E,連接AE,下列結論:①AQ⊥DP;②OA2=OE?OP;③S△AOD=S四邊形OECF;④當BP=1時,tan∠OAE=,其中正確結論的個數是()

    A.1????????????? B.2????????????? C.3????????????? D.4

    二、填空題

    13.因式分解:a3﹣4a=?。?/p>

    14.在一個不透明的袋子里,有2個黑球和1個白球,除了顏色外全部相同,任意摸兩個球,摸到1黑1白的概率是?。?/p>

    15.閱讀理解:引入新數i,新數i滿足分配律,結合律,交換律,已知i2=﹣1,那么(1+i)?(1﹣i)=?。?/p>

    16.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,Rt△MPN,∠MPN=90°,點P在AC上,PM交AB于點E,PN交BC于點F,當PE=2PF時,AP=?。?/p>

    三、解答題

    17.計算:|﹣2|﹣2cos45°+(﹣1)﹣2+

    18.先化簡,再求值:( +)÷,其中x=﹣1.

    19.深圳市某學校抽樣調查,A類學生騎共享單車,B類學生坐公交車、私家車等,C類學生步行,D類學生(其它),根據調查結果繪制了不完整的統計圖.

    類型

    頻數

    頻率

    A

    30

    x

    B

    18

    0.15

    C

    m

    0.40

    D

    n

    y

    (1)學生共 人,x= ,y=??;

    (2)補全條形統計圖;

    (3)若該校共有2000人,騎共享單車的有 人.

    20.一個矩形周長為56厘米.

    (1)當矩形面積為180平方厘米時,長寬分別為多少?

    (2)能圍成面積為200平方米的矩形嗎?請說明理由.

    21.如圖,一次函數y=kx+b與反比例函數y=(x>0)交于A(2,4),B(a,1),與x軸,y軸分別交于點C,D.

    (1)直接寫出一次函數y=kx+b的表達式和反比例函數y=(x>0)的表達式;

    (2)求證:AD=BC.

    22.如圖,線段AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點H,點M是上任意一點,AH=2,CH=4.

    (1)求⊙O的半徑r的長度;

    (2)求sin∠CMD;

    (3)直線BM交直線CD于點E,直線MH交⊙O于點N,連接BN交CE于點F,求HE?HF的值.

    23.如圖,拋物線y=ax2+bx+2經過點A(﹣1,0),B(4,0),交y軸于點C;

    (1)求拋物線的解析式(用一般式表示);

    (2)點D為y軸右側拋物線上一點,是否存在點D使S△ABC=S△ABD?若存在請直接給出點D坐標;若不存在請說明理由;

    (3)將直線BC繞點B順時針旋轉45°,與拋物線交于另一點E,求BE的長.


    2017年廣東省深圳市中考數學試題參考答案與試題解析

    一、選擇題

    1.﹣2的絕對值是()

    A.﹣2????????????? B.2????????????? C.﹣????????????? D.

    【考點】15:絕對值.

    【分析】根據絕對值的定義,可直接得出﹣2的絕對值.

    【解答】解:|﹣2|=2.

    故選B.

    2.圖中立體圖形的主視圖是()

    A.????????????? B.????????????? C.????????????? D.

    【考點】U2:簡單組合體的三視圖.

    【分析】根據主視圖是從正面看的圖形解答.

    【解答】解:從正面看,共有兩層,下面三個小正方體,上面有一個小正方體,在中間.

    故選A.

    3.隨著“一帶一路”建設的不斷發展,我國已與多個國家建立了經貿合作關系,去年中哈鐵路(中國至哈薩克斯坦)運輸量達8200000噸,將8200000用科學記數法表示為()

    A.8.2×105????????????? B.82×105????????????? C.8.2×106????????????? D.82×107

    【考點】1I:科學記數法—表示較大的數.

    【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數.確定n的值時,要看把原數變成a時,小數點移動了多少位,n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時,n是正數;當原數的絕對值<1時,n是負數.

    【解答】解:將8200000用科學記數法表示為:8.2×106.

    故選:C.

    4.觀察下列圖形,其中既是軸對稱又是中心對稱圖形的是()

    A.????????????? B.????????????? C.????????????? D.

    【考點】R5:中心對稱圖形;P3:軸對稱圖形.

    【分析】根據中心對稱圖形的定義旋轉180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形,以及軸對稱圖形的定義即可判斷出.

    【解答】解:A、是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形,選項不符合題意;

    B、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,選項不符合題意;

    C、是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形,選項不符合題意;

    D、是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,選項符合題意.

    故選D.

    5.下列選項中,哪個不可以得到l1∥l2?()

    A.∠1=∠2????????????? B.∠2=∠3????????????? C.∠3=∠5????????????? D.∠3+∠4=180°

    【考點】J9:平行線的判定.

    【分析】分別根據平行線的判定定理對各選項進行逐一判斷即可.

    【解答】解:A、∵∠1=∠2,∴l1∥l2,故本選項錯誤;

    B、∵∠2=∠3,∴l1∥l2,故本選項錯誤;

    C、∠3=∠5不能判定l1∥l2,故本選項正確;

    D、∵∠3+∠4=180°,∴l1∥l2,故本選項錯誤.

    故選C.

    6.不等式組的解集為()

    A.x>﹣1????????????? B.x<3????????????? C.x<﹣1或x>3????????????? D.﹣1<x<3

    【考點】CB:解一元一次不等式組.

    【分析】分別求出每一個不等式的解集,根據口訣:同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.

    【解答】解:解不等式3﹣2x<5,得:x>﹣1,

    解不等式x﹣2<1,得:x<3,

    ∴不等式組的解集為﹣1<x<3,

    故選:D.

    7.一球鞋廠,現打折促銷賣出330雙球鞋,比上個月多賣10%,設上個月賣出x雙,列出方程()

    A.10%x=330????????????? B.(1﹣10%)x=330????????????? C.(1﹣10%)2x=330????????????? D.(1+10%)x=330

    【考點】89:由實際問題抽象出一元一次方程.

    【分析】設上個月賣出x雙,等量關系是:上個月賣出的雙數×(1+10%)=現在賣出的雙數,依此列出方程即可.

    【解答】解:設上個月賣出x雙,根據題意得

    (1+10%)x=330.

    故選D.

    8.如圖,已知線段AB,分別以A、B為圓心,大于AB為半徑作弧,連接弧的交點得到直線l,在直線l上取一點C,使得∠CAB=25°,延長AC至M,求∠BCM的度數為()

    A.40°????????????? B.50°????????????? C.60°????????????? D.70°

    【考點】N2:作圖—基本作圖;KG:線段垂直平分線的性質.

    【分析】根據作法可知直線l是線段AB的垂直平分線,故可得出AC=BC,再由三角形外角的性質即可得出結論.

    【解答】解:∵由作法可知直線l是線段AB的垂直平分線,

    ∴AC=BC,

    ∴∠CAB=∠CBA=25°,

    ∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°.

    故選B.

    9.下列哪一個是假命題()

    A.五邊形外角和為360°

    B.切線垂直于經過切點的半徑

    C.(3,﹣2)關于y軸的對稱點為(﹣3,2)

    D.拋物線y=x2﹣4x+2017對稱軸為直線x=2

    【考點】O1:命題與定理.

    【分析】分析是否為真命題,需要分別分析各題設是否能推出結論,從而利用排除法得出答案.

    【解答】解:A、五邊形外角和為360°是真命題,故A不符合題意;

    B、切線垂直于經過切點的半徑是真命題,故B不符合題意;

    C、(3,﹣2)關于y軸的對稱點為(﹣3,2)是假命題,故C符合題意;

    D、拋物線y=x2﹣4x+2017對稱軸為直線x=2是真命題,故D不符合題意;

    故選:C.

    10.某共享單車前a公里1元,超過a公里的,每公里2元,若要使使用該共享單車50%的人只花1元錢,a應該要取什么數()

    A.平均數????????????? B.中位數????????????? C.眾數????????????? D.方差

    【考點】WA:統計量的選擇.

    【分析】由于要使使用該共享單車50%的人只花1元錢,根據中位數的意義分析即可

    【解答】解:根據中位數的意義,

    故只要知道中位數就可以了.

    故選B.

    11.如圖,學校環保社成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度,他們先在點C處測得樹頂B的仰角為60°,然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30°,已知斜坡CD的長度為20m,DE的長為10cm,則樹AB的高度是()m.

    A.20????????????? B.30????????????? C.30????????????? D.40

    【考點】TA:解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題.

    【分析】先根據CD=20米,DE=10m得出∠DCE=30°,故可得出∠DCB=90°,再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°,由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°,故∠GBF=30°,所以∠DBC=30°,再由銳角三角函數的定義即可得出結論.

    【解答】解:在Rt△CDE中,

    ∵CD=20m,DE=10m,

    ∴sin∠DCE==,

    ∴∠DCE=30°.

    ∵∠ACB=60°,DF∥AE,

    ∴∠BGF=60°

    ∴∠ABC=30°,∠DCB=90°.

    ∵∠BDF=30°,

    ∴∠DBF=60°,

    ∴∠DBC=30°,

    ∴BC===20m,

    ∴AB=BC?sin60°=20×=30m.

    故選B.

    12.如圖,正方形ABCD的邊長是3,BP=CQ,連接AQ,DP交于點O,并分別與邊CD,BC交于點F,E,連接AE,下列結論:①AQ⊥DP;②OA2=OE?OP;③S△AOD=S四邊形OECF;④當BP=1時,tan∠OAE=,其中正確結論的個數是()

    A.1????????????? B.2????????????? C.3????????????? D.4

    【考點】S9:相似三角形的判定與性質;KD:全等三角形的判定與性質;LE:正方形的性質;T7:解直角三角形.

    【分析】由四邊形ABCD是正方形,得到AD=BC,∠DAB=∠ABC=90°,根據全等三角形的性質得到∠P=∠Q,根據余角的性質得到AQ⊥DP;故①正確;根據相似三角形的性質得到AO2=OD?OP,由OD≠OE,得到OA2≠OE?OP;故②錯誤;根據全等三角形的性質得到CF=BE,DF=CE,于是得到S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF,即S△AOD=S四邊形OECF;故③正確;根據相似三角形的性質得到BE=,求得QE=,QO=,OE=,由三角函數的定義即可得到結論.

    【解答】解:∵四邊形ABCD是正方形,

    ∴AD=BC,∠DAB=∠ABC=90°,

    ∵BP=CQ,

    ∴AP=BQ,

    在△DAP與△ABQ中,,

    ∴△DAP≌△ABQ,

    ∴∠P=∠Q,

    ∵∠Q+∠QAB=90°,

    ∴∠P+∠QAB=90°,

    ∴∠AOP=90°,

    ∴AQ⊥DP;

    故①正確;

    ∵∠DOA=∠AOP=90,∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°,

    ∴∠DAO=∠P,

    ∴△DAO∽△APO,

    ,

    ∴AO2=OD?OP,

    ∵AE>AB,

    ∴AE>AD,

    ∴OD≠OE,

    ∴OA2≠OE?OP;故②錯誤;

    在△CQF與△BPE中,

    ∴△CQF≌△BPE,

    ∴CF=BE,

    ∴DF=CE,

    在△ADF與△DCE中,,

    ∴△ADF≌△DCE,

    ∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF,

    即S△AOD=S四邊形OECF;故③正確;

    ∵BP=1,AB=3,

    ∴AP=4,

    ∵△AOP∽△DAP,

    ,

    ∴BE=,∴QE=,

    ∵△QOE∽△PAD,

    ,

    ∴QO=,OE=

    ∴AO=5﹣QO=,

    ∴tan∠OAE==,故④正確,

    故選C.

    二、填空題

    13.因式分解:a3﹣4a= a(a+2)(a﹣2) .

    【考點】55:提公因式法與公式法的綜合運用.

    【分析】首先提取公因式a,進而利用平方差公式分解因式得出即可.

    【解答】解:a3﹣4a=a(a2﹣4)=a(a+2)(a﹣2).

    故答案為:a(a+2)(a﹣2).

    14.在一個不透明的袋子里,有2個黑球和1個白球,除了顏色外全部相同,任意摸兩個球,摸到1黑1白的概率是  .

    【考點】X6:列表法與樹狀圖法.

    【分析】首先根據題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與所摸到1黑1白的情況,再利用概率公式即可求得答案.

    【解答】解:依題意畫樹狀圖得:

    ∵共有6種等可能的結果,所摸到的球恰好為1黑1白的有4種情況,

    ∴所摸到的球恰好為1黑1白的概率是: =

    故答案為:

    15.閱讀理解:引入新數i,新數i滿足分配律,結合律,交換律,已知i2=﹣1,那么(1+i)?(1﹣i)= 2 .

    【考點】4F:平方差公式;2C:實數的運算.

    【分析】根據定義即可求出答案.

    【解答】解:由題意可知:原式=1﹣i2=1﹣(﹣1)=2

    故答案為:2

    16.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,Rt△MPN,∠MPN=90°,點P在AC上,PM交AB于點E,PN交BC于點F,當PE=2PF時,AP= 3 .

    【考點】S9:相似三角形的判定與性質.

    【分析】如圖作PQ⊥AB于Q,PR⊥BC于R.由△QPE∽△RPF,推出==2,可得PQ=2PR=2BQ,由PQ∥BC,可得AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5,設PQ=4x,則AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,可得2x+3x=3,求出x即可解決問題.

    【解答】解:如圖作PQ⊥AB于Q,PR⊥BC于R.

    ∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°,

    ∴四邊形PQBR是矩形,

    ∴∠QPR=90°=∠MPN,

    ∴∠QPE=∠RPF,

    ∴△QPE∽△RPF,

    ==2,

    ∴PQ=2PR=2BQ,

    ∵PQ∥BC,

    ∴AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5,設PQ=4x,則AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,

    ∴2x+3x=3,

    ∴x=

    ∴AP=5x=3.

    故答案為3.

    三、解答題

    17.計算:|﹣2|﹣2cos45°+(﹣1)﹣2+

    【考點】2C:實數的運算;6F:負整數指數冪;T5:特殊角的三角函數值.

    【分析】因為<2,所以|﹣2|=2﹣,cos45°=, =2,分別計算后相加即可.

    【解答】解:|﹣2|﹣2cos45°+(﹣1)﹣2+

    =2﹣﹣2×+1+2,

    =2﹣+1+2,

    =3.

    18.先化簡,再求值:( +)÷,其中x=﹣1.

    【考點】6D:分式的化簡求值.

    【分析】根據分式的運算法則即可求出答案.

    【解答】解:當x=﹣1時,

    原式=×

    =3x+2

    =﹣1

    19.深圳市某學校抽樣調查,A類學生騎共享單車,B類學生坐公交車、私家車等,C類學生步行,D類學生(其它),根據調查結果繪制了不完整的統計圖.

    類型

    頻數

    頻率

    A

    30

    x

    B

    18

    0.15

    C

    m

    0.40

    D

    n

    y

    (1)學生共 120 人,x= 0.25 ,y= 0.2?。?/p>

    (2)補全條形統計圖;

    (3)若該校共有2000人,騎共享單車的有 500 人.

    【考點】VC:條形統計圖;V5:用樣本估計總體;V7:頻數(率)分布表.

    【分析】(1)根據B類學生坐公交車、私家車的人數以及頻率,求出總人數,再根據頻數與頻率的關系一一解決即可;

    (2)求出m、n的值,畫出條形圖即可;

    (3)用樣本估計總體的思想即可解決問題;

    【解答】解:(1)由題意總人數==120人,

    x==0.25,m=120×0.4=48,

    y=1﹣0.25﹣0.4﹣0.15=0.2,

    n=120×0.2=24,

     

    (2)條形圖如圖所示,

     

    (3)2000×0.25=500人,

    故答案為500.

    20.一個矩形周長為56厘米.

    (1)當矩形面積為180平方厘米時,長寬分別為多少?

    (2)能圍成面積為200平方米的矩形嗎?請說明理由.

    【考點】AD:一元二次方程的應用.

    【分析】(1)設出矩形的一邊長為未知數,用周長公式表示出另一邊長,根據面積列出相應方程求解即可.

    (2)同樣列出方程,若方程有解則可,否則就不可以.

    【解答】解:(1)設矩形的長為x厘米,則另一邊長為(28﹣x)厘米,依題意有

    x(28﹣x)=180,

    解得x1=10(舍去),x2=18,

    28﹣x=28﹣18=10.

    故長為18厘米,寬為10厘米;

     

    (2)設矩形的長為x厘米,則寬為(28﹣x)厘米,依題意有

    x(28﹣x)=200,

    即x2﹣28x+200=0,

    則△=282﹣4×200=784﹣800<0,原方程無解,

    故不能圍成一個面積為200平方厘米的矩形.

    21.如圖,一次函數y=kx+b與反比例函數y=(x>0)交于A(2,4),B(a,1),與x軸,y軸分別交于點C,D.

    (1)直接寫出一次函數y=kx+b的表達式和反比例函數y=(x>0)的表達式;

    (2)求證:AD=BC.

    【考點】G8:反比例函數與一次函數的交點問題.

    【分析】(1)先確定出反比例函數的解析式,進而求出點B的坐標,最后用待定系數法求出直線AB的解析式;

    (2)由(1)知,直線AB的解析式,進而求出C,D坐標,構造直角三角形,利用勾股定理即可得出結論.

    【解答】解:(1)將點A(2,4)代入y=中,得,m=2×4=8,

    ∴反比例函數的解析式為y=,

    將點B(a,1)代入y=中,得,a=8,

    ∴B(8,1),

    將點A(2,4),B(8,1)代入y=kx+b中,得,

    ∴一次函數解析式為y=﹣x+5;

    (2)∵直線AB的解析式為y=﹣x+5,

    ∴C(10,0),D(0,5),

    如圖,

    過點A作AE⊥y軸于E,過點B作BF⊥x軸于F,

    ∴E(0,4),F(8,0),

    ∴AE=2,DE=1,BF=1,CF=2,

    在Rt△ADE中,根據勾股定理得,AD==,

    在Rt△BCF中,根據勾股定理得,BC==,

    ∴AD=BC.

    22.如圖,線段AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點H,點M是上任意一點,AH=2,CH=4.

    (1)求⊙O的半徑r的長度;

    (2)求sin∠CMD;

    (3)直線BM交直線CD于點E,直線MH交⊙O于點N,連接BN交CE于點F,求HE?HF的值.

    【考點】MR:圓的綜合題.

    【分析】(1)在Rt△COH中,利用勾股定理即可解決問題;

    (2)只要證明∠CMD=△COA,求出sin∠COA即可;

    (3)由△EHM∽△NHF,推出=,推出HE?HF=HM?HN,又HM?HN=AH?HB,推出HE?HF=AH?HB,由此即可解決問題.

    【解答】解:(1)如圖1中,連接OC.

    ∵AB⊥CD,

    ∴∠CHO=90°,

    在Rt△COH中,∵OC=r,OH=r﹣2,CH=4,

    ∴r2=42+(r﹣2)2,

    ∴r=5.

     

    (2)如圖1中,連接OD.

    ∵AB⊥CD,AB是直徑,

    ==,

    ∴∠AOC=∠COD,

    ∵∠CMD=∠COD,

    ∴∠CMD=∠COA,

    ∴sin∠CMD=sin∠COA==

     

    (3)如圖2中,連接AM.

    ∵AB是直徑,

    ∴∠AMB=90°,

    ∴∠MAB+∠ABM=90°,

    ∵∠E+∠ABM=90°,

    ∴∠E=∠MAB,

    ∴∠MAB=∠MNB=∠E,

    ∵∠EHM=∠NHFM

    ∴△EHM∽△NHF,

    =,

    ∴HE?HF=HM?HN,

    ∵HM?HN=AH?HB,

    ∴HE?HF=AH?HB=2?(10﹣2)=16.

    23.如圖,拋物線y=ax2+bx+2經過點A(﹣1,0),B(4,0),交y軸于點C;

    (1)求拋物線的解析式(用一般式表示);

    (2)點D為y軸右側拋物線上一點,是否存在點D使S△ABC=S△ABD?若存在請直接給出點D坐標;若不存在請說明理由;

    (3)將直線BC繞點B順時針旋轉45°,與拋物線交于另一點E,求BE的長.

    【考點】HF:二次函數綜合題.

    【分析】(1)由A、B的坐標,利用待定系數法可求得拋物線解析式;

    (2)由條件可求得點D到x軸的距離,即可求得D點的縱坐標,代入拋物線解析式可求得D點坐標;

    (3)由條件可證得BC⊥AC,設直線AC和BE交于點F,過F作FM⊥x軸于點M,則可得BF=BC,利用平行線分線段成比例可求得F點的坐標,利用待定系數法可求得直線BE解析式,聯立直線BE和拋物線解析式可求得E點坐標,則可求得BE的長.

    【解答】解:

    (1)∵拋物線y=ax2+bx+2經過點A(﹣1,0),B(4,0),

    ,解得,

    ∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2;

    (2)由題意可知C(0,2),A(﹣1,0),B(4,0),

    ∴AB=5,OC=2,

    ∴S△ABC=AB?OC=×5×2=5,

    ∵S△ABC=S△ABD,

    ∴S△ABD=×5=,

    設D(x,y),

    AB?|y|=×5|y|=,解得|y|=3,

    當y=3時,由﹣x2+x+2=3,解得x=1或x=2,此時D點坐標為(1,3)或(2,3);

    當y=﹣3時,由﹣x2+x+2=﹣3,解得x=﹣2(舍去)或x=5,此時D點坐標為(5,﹣3);

    綜上可知存在滿足條件的點D,其坐標為(1,3)或(2,3)或(5,﹣3);

    (3)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,

    ∴AC==,BC==2

    ∴AC2+BC2=AB2,

    ∴△ABC為直角三角形,即BC⊥AC,

    如圖,設直線AC與直線BE交于點F,過F作FM⊥x軸于點M,

    由題意可知∠FBC=45°,

    ∴∠CFB=45°,

    ∴CF=BC=2

    =,即=,解得OM=2, =,即=,解得FM=6,

    ∴F(2,6),且B(4,0),

    設直線BE解析式為y=kx+m,則可得,解得

    ∴直線BE解析式為y=﹣3x+12,

    聯立直線BE和拋物線解析式可得,解得,

    ∴E(5,﹣3),

    ∴BE==.

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