2017年東營市中考數學試題（含答案）

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2017年東營市中考數學試題

參考答案與試題解析

一、2017年東營市中考數學試題選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1．下列四個數中，最大的數是（　　）

A．3????????????? B．????????????? C．0????????????? D．π

【分析】根據在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大可得答案．

【解答】解：0＜＜3＜π，

故選：D．

【點評】此題主要考查了實數的比較大小，關鍵是掌握利用數軸也可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小．

2．下列運算正確的是（　　）

A．（x﹣y）2=x2﹣y2????????????? B．|﹣2|=2﹣????????????? C．﹣=????????????? D．﹣（﹣a+1）=a+1

【分析】根據完全平方公式，二次根式的化簡以及去括號的法則進行解答．

【解答】解：A、原式=x2﹣2xy+y2，故本選項錯誤；

B、原式=2﹣，故本選項正確；

C、原式=2﹣，故本選項錯誤；

D、原式=a﹣1，故本選項錯誤；

故選：B．

【點評】本題綜合考查了二次根式的加減法，實數的性質，完全平方公式以及去括號，屬于基礎題，難度不大．

3．若|x2﹣4x+4|與互為相反數，則x+y的值為（　　）

A．3????????????? B．4????????????? C．6????????????? D．9

【分析】根據相反數的定義得到|x2﹣4x+4|+=0，再根據非負數的性質得x2﹣4x+4=0，2x﹣y﹣3=0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后計算它們的和即可．

【解答】解：根據題意得|x2﹣4x+4|+=0，

所以|x2﹣4x+4|=0， =0，

即（x﹣2）2=0，2x﹣y﹣3=0，

所以x=2，y=1，

所以x+y=3．

故選A．

【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了非負數的性質．

4．小明從家到學校，先勻速步行到車站，等了幾分鐘后坐上了公交車，公交車沿著公路勻速行駛一段時間后到達學校，小明從家到學校行駛路程s（m）與時間t（min）的大致圖象是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【分析】根據題意判斷出S隨t的變化趨勢，然后再結合選項可得答案．

【解答】解：小明從家到學校，先勻速步行到車站，因此S隨時間t的增長而增長，

等了幾分鐘后坐上了公交車，因此時間在增加，S不增長，

坐上了公交車，公交車沿著公路勻速行駛一段時間后到達學校，因此S又隨時間t的增長而增長，

故選：C．

【點評】此題主要考查了函數圖象，關鍵是正確理解題意，根據題意判斷出兩個變量的變化情況．

5．已知a∥b，一塊含30°角的直角三角板如圖所示放置，∠2=45°，則∠1等于（　　）

A．100°????????????? B．135°????????????? C．155°????????????? D．165°

【分析】先過P作PQ∥a，則PQ∥b，根據平行線的性質即可得到∠3的度數，再根據對頂角相等即可得出結論．

【解答】解：如圖，過P作PQ∥a，

∵a∥b，

∴PQ∥b，

∴∠BPQ=∠2=45°，

∵∠APB=60°，

∴∠APQ=15°，

∴∠3=180°﹣∠APQ=165°，

∴∠1=165°，

故選：D．

【點評】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行，內錯角相等，同旁內角互補．2017年東營市中考數學試題

6．如圖，共有12個大小相同的小正方形，其中陰影部分的5個小正方形是一個正方體的表面展開圖的一部分，現從其余的小正方形中任取一個涂上陰影，能構成這個正方體的表面展開圖的概率是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【分析】根據正方形表面展開圖的結構即可求出判斷出構成這個正方體的表面展開圖的概率．

【解答】解：設沒有涂上陰影的分別為：A、B、C、D、E、F、G，如圖所示，

從其余的小正方形中任取一個涂上陰影共有7種情況，

而能夠構成正方體的表面展開圖的有以下情況，D、E、F、G，

∴能構成這個正方體的表面展開圖的概率是，

故選（A）

【點評】本題考查概率，解題的關鍵是熟識正方體表面展開圖的結構，本題屬于中等題型．

7．如圖，在?ABCD中，用直尺和圓規作∠BAD的平分線AG交BC于點E．若BF=8，AB=5，則AE的長為（　　）

A．5????????????? B．6????????????? C．8????????????? D．12

【分析】由基本作圖得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四邊形ABEF是菱形，由菱形的性質可知AE⊥BF，故可得出OB的長，再由勾股定理即可得出OA的長，進而得出結論．

【解答】解：連結EF，AE與BF交于點O，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AF，

∴四邊形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OB=BF=4，OA=AE．

∵AB=5，

在Rt△AOB中，AO==3，

∴AE=2AO=6．

故選B．

【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知平行四邊形的性質、勾股定理、平行線的性質是解決問題的關鍵．

8．若圓錐的側面積等于其底面積的3倍，則該圓錐側面展開圖所對應扇形圓心角的度數為（　　）

A．60°????????????? B．90°????????????? C．120°????????????? D．180°

【分析】根據圓錐側面積恰好等于底面積的3倍可得圓錐的母線長=3×底面半徑，根據圓錐的側面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長，可得圓錐側面展開圖所對應的扇形圓心角度數．2017年東營市中考數學試題

【解答】解：設母線長為R，底面半徑為r，

∴底面周長=2πr，底面面積=πr2，側面面積=lr=πrR，

∵側面積是底面積的3倍，

∴3πr2=πrR，

∴R=3r，

設圓心角為n，有=πR，

∴n=120°．

故選C．

【點評】本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長，以及利用扇形面積公式求出是解題的關鍵．

9．如圖，把△ABC沿著BC的方向平移到△DEF的位置，它們重疊部分的面積是△ABC面積的一半，若BC=，則△ABC移動的距離是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．﹣

【分析】移動的距離可以視為BE或CF的長度，根據題意可知△ABC與陰影部分為相似三角形，且面積比為2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的長，利用線段的差求BE的長．

【解答】解：∵△ABC沿BC邊平移到△DEF的位置，

∴AB∥DE，

∴△ABC∽△HEC，

∴=（）2=，

∴EC：BC=1：，

∵BC=，

∴EC=，

∴BE=BC﹣EC=﹣．

故選：D．

【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質、平移的性質，關鍵在于證△ABC與陰影部分為相似三角形．

10．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結論：

①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PHPC[來源:學科網]

其中正確的是（　　）

A．①②③④????????????? B．②③????????????? C．①②④????????????? D．①③④

【分析】由正方形的性質和相似三角形的判定與性質，即可得出結論．

【解答】解：∵△BPC是等邊三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，

∴BE=2AE；故①正確；

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=75°，

∴∠FDP=15°，

∵∠DBA=45°，

∴∠PBD=15°，

∴∠FDP=∠PBD，

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH；故②正確；

∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，

∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，

∴∠PFD≠∠PDB，

∴△PFD與△PDB不會相似；故③錯誤；

∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，

∴△DPH∽△CPD，

∴，

∴DP2=PHPC，故④正確；

故選C．

【點評】本題考查的正方形的性質，等邊三角形的性質以及相似三角形的判定和性質，解答此題的關鍵是熟練掌握性質和定理．

二、2017年東營市中考數學試題填空題（本大題共8小題，共28分）

11．《“一帶一路”貿易合作大數據報告（2017）》以“一帶一路”貿易合作現狀分析和趨勢預測為核心，采集調用了8000多個種類，總計1.2億條全球進出口貿易基礎數據…，1.2億用科學記數法表示為　1.2×108　．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：1.2億用科學記數法表示為1.2×108．

故答案為：1.2×108．

【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．

12．分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y=　﹣2y（x﹣4）2　．

【分析】根據提取公因式以及完全平方公式即可求出答案．

【解答】解：原式=﹣2y（x2﹣8x+16）

=﹣2y（x﹣4）2

故答案為：﹣2y（x﹣4）2

【點評】本題考查因式分解，解題的關鍵是熟練運用因式分解法，本題屬于基礎題型．

13．為選拔一名選手參加全國中學生游泳錦標賽自由泳比賽，我市四名中學生參加了男子100米自由泳訓練，他們成績的平均數及其方差s2如下表所示：

如果選拔一名學生去參賽，應派　乙　去．

【分析】首先比較平均數，平均數相同時選擇方差較小的運動員參加．2017年東營市中考數學試題

【解答】解：∵＞＞=，

∴從乙和丙中選擇一人參加比賽，

∵S＜S，

∴選擇乙參賽，

故答案為：乙．

【點評】題考查了平均數和方差，一般地設n個數據，x1，x2，…xn的平均數為，則方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．

14．如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，D為半圓上一點，AC∥OD，AD與OC交于點E，連結CD、BD，給出以下三個結論：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CECO，其中正確結論的序號是　①②③　．

【分析】①由OC⊥AB就可以得出∠BOC=∠AOC=90°，再由OC=OA就可以得出∠OCA=∠OAC=45°，由AC∥OD就可以得出∠BOD=45°，進而得出∠DOC=45°，從而得出結論；

②由∠BOD=∠COD即可得出BD=CD；

③由∠AOC=90°就可以得出∠CDA=45°，得出∠DOC=∠CDA，就可以得出△DOC∽△EDC．進而得出，得出CD2=CECO．

【解答】解：①∵OC⊥AB，

∴∠BOC=∠AOC=90°．

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC=45°．

∵AC∥OD，

∴∠BOD=∠CAO=45°，

∴∠DOC=45°，

∴∠BOD=∠DOC，

∴OD平分∠COB．故①正確；

②∵∠BOD=∠DOC，

∴BD=CD．故②正確；

③∵∠AOC=90°，

∴∠CDA=45°，

∴∠DOC=∠CDA．

∵∠OCD=∠OCD，

∴△DOC∽△EDC，

∴，

∴CD2=CECO．故③正確．

故答案為：①②③．

【點評】本題考查了圓周角定理，平行線的性質，圓的性質，圓心角與弦的關系定理的運用，相似三角形的判定及性質；熟練掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．

15．如圖，已知菱形ABCD的周長為16，面積為8，E為AB的中點，若P為對角線BD上一動點，則EP+AP的最小值為　2　．

【分析】如圖作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，連接AC、AP′．首先證明E′與E重合，因為A、C關于BD對稱，所以當P與P′重合時，PA′+P′E的值最小，由此求出CE即可解決問題．

【解答】解：如圖作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，連接AC、AP′．

∵已知菱形ABCD的周長為16，面積為8，

∴AB=BC=4，ABCE′=8，

∴CE′=2，

在Rt△BCE′中，BE′==2，

∵BE=EA=2，

∴E與E′重合，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，

∴A、C關于BD對稱，

∴當P與P′重合時，PA′+P′E的值最小，最小值為CE的長=2，

故答案為2．

【點評】本題考查軸對稱﹣最短問題、菱形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，本題的突破點是證明CE是△ABC的高，學會利用對稱解決最短問題．

16．我國古代有這樣一道數學問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處，則問題中葛藤的最短長度是　25　尺．

【分析】這種立體圖形求最短路徑問題，可以展開成為平面內的問題解決，展開后可轉化下圖，所以是個直角三角形求斜邊的問題，根據勾股定理可求出．

【解答】解：如圖，一條直角邊（即枯木的高）長20尺，

另一條直角邊長5×3=15（尺），

因此葛藤長為=25（尺）．

故答案為：25．

【點評】本題考查了平面展開最短路徑問題，關鍵是把立體圖形展成平面圖形，本題是展成平面圖形后為直角三角形按照勾股定理可求出解．2017年東營市中考數學試題

17．一數學興趣小組來到某公園，準備測量一座塔的高度．如圖，在A處測得塔頂的仰角為α，在B處測得塔頂的仰角為β，又測量出A、B兩點的距離為s米，則塔高為　　米．

【分析】在Rt△BCD中有BD=，在Rt△ACD中，根據tan∠A==可得tanα=，解之求出CD即可得．

【解答】解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，

∴BD=，

在Rt△ACD中，∵tan∠A==，

∴tanα=，

解得：CD=，

故答案為：．

【點評】本題主要考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解題的關鍵是根據兩直角三角形的公共邊利用三角函數建立方程求解．

18．如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=x﹣與x軸交于點B1，以OB1為邊長作等邊三角形A1OB1，過點A1作A1B2平行于x軸，交直線l于點B2，以A1B2為邊長作等邊三角形A2A1B2，過點A2作A2B3平行于x軸，交直線l于點B3，以A2B3為邊長作等邊三角形A3A2B3，…，則點A2017的橫坐標是　　．

【分析】先根據直線l：y=x﹣與x軸交于點B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，過A1作A1A⊥OB1于A，過A2作A2B⊥A1B2于B，過A3作A3C⊥A2B3于C，根據等邊三角形的性質以及含30°角的直角三角形的性質，分別求得A1的橫坐標為，A2的橫坐標為，A3的橫坐標為，進而得到An的橫坐標為，據此可得點A2017的橫坐標．

【解答】解：由直線l：y=x﹣與x軸交于點B1，可得B1（1，0），D（﹣，0），

∴OB1=1，∠OB1D=30°，

如圖所示，過A1作A1A⊥OB1于A，則OA=OB1=，

即A1的橫坐標為=，

由題可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，

∴∠A1B1B2=90°，

∴A1B2=2A1B1=2，

過A2作A2B⊥A1B2于B，則A1B=A1B2=1，

即A2的橫坐標為+1==，

過A3作A3C⊥A2B3于C，

同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，

即A3的橫坐標為+1+2==，

同理可得，A4的橫坐標為+1+2+4==，

由此可得，An的橫坐標為，

∴點A2017的橫坐標是，

故答案為：．

【點評】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及等邊三角形的性質的運用，解決問題的關鍵是依據等邊三角形的性質找出規律，求得An的橫坐標為．

三、2017年東營市中考數學試題解答題（本大題共7小題，共62分）

19．（1）計算：6cos45°+（）﹣1+（﹣1.73）0+|5﹣3|+42017×（﹣0.25）2017

（2）先化簡，再求值：（﹣a+1）÷+﹣a，并從﹣1，0，2中選一個合適的數作為a的值代入求值．

【分析】（1）根據特殊角的三角函數值、負整數指數冪、零指數冪、絕對值、冪的乘方可以解答本題；

（2）根據分式的加減法和除法可以化簡題目中的式子，然后在﹣1，0，2中選一個使得原分式有意義的值代入即可解答本題．

【解答】解：（1）6cos45°+（）﹣1+（﹣1.73）0+|5﹣3|+42017×（﹣0.25）2017[來源:學科網ZXXK]

=6×+3+1+5﹣3+42017×（﹣）2017

=

=8；

（2）（﹣a+1）÷+﹣a

=

=

=

=

=﹣a﹣1，

當a=0時，原式=﹣0﹣1=﹣1．

【點評】本題考查分式的化簡求值、實數的運算、殊角的三角函數值、負整數指數冪、零指數冪、絕對值、冪的乘方，解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法．

20．為大力弘揚“奉獻、友愛、互助、進步”的志愿服務精神，傳播“奉獻他人、提升自我”的志愿服務理念，東營市某中學利用周末時間開展了“助老助殘、社區服務、生態環保、網絡文明”四個志愿服務活動（每人只參加一個活動），九年級某班全班同學都參加了志愿服務，班長為了解志愿服務的情況，收集整理數據后，繪制以下不完整的統計圖，請你根據統計圖中所提供的信息解答下列問題：

（1）求該班的人數；

（2）請把折線統計圖補充完整；

（3）求扇形統計圖中，網絡文明部分對應的圓心角的度數；[來源:學&科&網Z&X&X&K]

（4）小明和小麗參加了志愿服務活動，請用樹狀圖或列表法求出他們參加同一服務活動的概率．

【分析】（1）根據參加生態環保的人數以及百分比，即可解決問題；

（2）社區服務的人數，畫出折線圖即可；

（3）根據圓心角=360°×百分比，計算即可；

（4）用列表法即可解決問題；

【解答】解：（1）該班全部人數：12÷25%=48人．

（2）48×50%=24，折線統計如圖所示：

（3）×360°=45°．

（4）分別用“1，2，3，4”代表“助老助殘、社區服務、生態環保、網絡文明”四個服務活動，列表如下：

則所有可能有16種，其中他們參加同一活動有4種，

所以他們參加同一服務活動的概率P==．

【點評】本題考查折線圖、扇形統計圖、列表法等知識，解題的關鍵是記住基本概念，屬于中考常考題型．

21．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線DE，交AC于點E，AC的反向延長線交⊙O于點F．

（1）求證：DE⊥AC；

（2）若DE+EA=8，⊙O的半徑為10，求AF的長度．

【分析】（1）欲證明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；

（2）如圖，過點O作OH⊥AF于點H，構建矩形ODEH，設AH=x．則由矩形的性質推知：AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2+（x﹣2）2=102，通過解方程得到AH的長度，結合OH⊥AF，得到AF=2AH=2×8=16．

【解答】（1）證明：∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC．

∵DE是⊙O的切線，OD是半徑，

∴DE⊥OD，

∴DE⊥AC。

（2）如圖，過點O作OH⊥AF于點H，則∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，

∴四邊形ODEH是矩形，

∴OD=EH，OH=DE．

設AH=x．

∵DE+AE=8，OD=10，

∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．

在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102，

解得x1=8，x2=﹣6（不合題意，舍去）．

∴AH=8．

∵OH⊥AF，

∴AH=FH=AF，

∴AF=2AH=2×8=16．

【點評】本題考查了切線的性質，勾股定理，矩形的判定與性質．解題時，利用了方程思想，屬于中檔題．

22．如圖，一次函數y=kx+b的圖象與坐標軸分別交于A、B兩點，與反比例函數y=的圖象在第一象限的交點為C，CD⊥x軸，垂足為D，若OB=3，OD=6，△AOB的面積為3．

（1）求一次函數與反比例函數的解析式；

（2）直接寫出當x＞0時，kx+b﹣＜0的解集．

【分析】（1）根據三角形面積求出OA，得出A、B的坐標，代入一次函數的解析式即可求出解析式，把x=6代入求出D的坐標，把D的坐標代入反比例函數的解析式求出即可；

（2）根據圖象即可得出答案．

【解答】解：（1）∵S△AOB=3，OB=3，

∴OA=2，

∴B（3，0），A（0，﹣2），

代入y=kx+b得：，

解得：k=，b=﹣2，

∴一次函數y=x﹣2，

∵OD=6，

∴D（6，0），CD⊥x軸，

當x=6時，y=×6﹣2=2

∴C（6，2），

∴n=6×2=12，

∴反比例函數的解析式是y=；

（2）當x＞0時，kx+b﹣＜0的解集是0＜x＜6．

【點評】本題考查了用待定系數法求出函數的解析式，一次函數和和反比例函數的交點問題，函數的圖象的應用，主要考查學生的觀察圖形的能力和計算能力．

23．為解決中小學大班額問題，東營市各縣區今年將改擴建部分中小學，某縣計劃對A、B兩類學校進行改擴建，根據預算，改擴建2所A類學校和3所B類學校共需資金7800萬元，改擴建3所A類學校和1所B類學校共需資金5400萬元．

（1）改擴建1所A類學校和1所B類學校所需資金分別是多少萬元？

（2）該縣計劃改擴建A、B兩類學校共10所，改擴建資金由國家財政和地方財政共同承擔．若國家財政撥付資金不超過11800萬元；地方財政投入資金不少于4000萬元，其中地方財政投入到A、B兩類學校的改擴建資金分別為每所300萬元和500萬元．請問共有哪幾種改擴建方案？

【分析】（1）可根據“改擴建2所A類學校和3所B類學校共需資金7800萬元，改擴建3所A類學校和1所B類學校共需資金5400萬元”，列出方程組求出答案；

（2）要根據“國家財政撥付資金不超過11800萬元；地方財政投入資金不少于4000萬元”來列出不等式組，判斷出不同的改造方案．

【解答】解：（1）設改擴建一所A類和一所B類學校所需資金分別為x萬元和y萬元

由題意得，

解得，

答：改擴建一所A類學校和一所B類學校所需資金分別為1200萬元和1800萬元．

（2）設今年改擴建A類學校a所，則改擴建B類學校（10﹣a）所，

由題意得：，

解得，[來源:Z|xx|k.Com]

∴3≤a≤5，

∵x取整數，

∴x=3，4，5．

即共有3種方案：

方案一：改擴建A類學校3所，B類學校7所；

方案二：改擴建A類學校4所，B類學校6所；

方案三：改擴建A類學校5所，B類學校5所．

【點評】本題考查了一元一次不等式組的應用，二元一次方程組的應用．解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，找到所求的量的數量關系．2017年東營市中考數學試題。

24．如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，點D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=30°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．

【分析】（1）根據兩角相等證明：△ABD∽△DCE；

（2）如圖1，作高AF，根據直角三角形30°的性質求AF的長，根據勾股定理求BF的長，則可得BC的長，根據（1）中的相似列比例式可得函數關系式，并確定取值；

（3）分三種情況進行討論：

①當AD=DE時，如圖2，

由（1）可知：此時△ABD∽△DCE，則AB=CD，即2=2﹣x；

②當AE=ED時，如圖3，則ED=EC，即y=（2﹣y）；

③當AD=AE時，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，

此時點D與點B重合，不符合題意，此情況不存在．

【解答】證明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，

∴∠ABD=∠ACB=30°，

∴∠ABD=∠ADE=30°，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，

∴∠EDC=∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；

（2）如圖1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，

過A作AF⊥BC于F，

∴∠AFB=90°，

∵AB=2，∠ABF=30°，

∴AF=AB=1，

∴BF=，

∴BC=2BF=2，

則DC=2﹣x，EC=2﹣y，

∵△ABD∽△DCE，

∴，

∴，

化簡得：y=x+2（0＜x＜2）；

（3）當AD=DE時，如圖2，

由（1）可知：此時△ABD∽△DCE，

則AB=CD，即2=2﹣x，

x=2﹣2，代入y=x+2，

解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，

當AE=ED時，如圖3，

∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，

∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，

則ED=EC，即y=（2﹣y），

解得：y=，即AE=，

當AD=AE時，

∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，

此時點D與點B重合，不符合題意，此情況不存在，

∴當△ADE是等腰三角形時，AE=4﹣2或．

【點評】本題是相似形的綜合題，考查了三角形相似的性質和判定、等腰三角形的性質、直角三角形30°角的性質，本題的幾個問題全部圍繞△ABD∽△DCE，解決問題；難度適中．

25．如圖，直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，∠ACB=90°，拋物線y=ax2+bx+經過A，B兩點．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MH⊥BC于點H，作MD∥y軸交BC于點D，求△DMH周長的最大值．

【分析】（1）由直線解析式可求得B、C坐標，在Rt△BOC中由三角函數定義可求得∠OCB=60°，則在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函數的定義可求得OA，則可求得A點坐標；

（2）由A、B兩點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（3）由平行線的性質可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函數的定義可得到DH、MH與DM的關系，可設出M點的坐標，則可表示出DM的長，從而可表示出△DMH的周長，利用二次函數的性質可求得其最大值．

【解答】解：

（1）∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點，

∴B（3，0），C（0，），[來源:學|科|網]

∴OB=3，OC=，

∴tan∠BCO==，

∴∠BCO=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO=30°，

∴=tan30°=，即=，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

（2）∵拋物線y=ax2+bx+經過A，B兩點，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+；

（3）∵MD∥y軸，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，則∠DMH=30°，

∴DH=DM，MH=DM，

∴△DMH的周長=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，

∴當DM有最大值時，其周長有最大值，

∵點M是直線BC上方拋物線上的一點，

∴可設M（t，﹣ t2+t+），則D（t，﹣ t+），

∴DM=﹣t2+t+），則D（t，﹣ t+），

∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，

∴當t=時，DM有最大值，最大值為，

此時DM=×=，

即△DMH周長的最大值為．

【點評】本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、三角函數的定義、二次函數的性質、方程思想等知識．在（1）中注意函數圖象與坐標的交點的求法，在（2）中注意待定系數法的應用，在（3）中找到DH、MH與DM的關系是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．