2016丹東市東港中考數(shù)學(xué)一模試卷【解析版含答案】

2017-11-17 14:42:28文/趙妍妍

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2016丹東市東港中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個是正確的.每小題3分，共24分）

1．﹣2015的絕對值是（　　）

A．﹣2015????????????? B．2015????????????? C．????????????? D．﹣

2．據(jù)統(tǒng)計，2015年在“情系桃源，好運丹東”的鴨綠江桃花觀賞活動中，6天內(nèi)參與人次達(dá)27.8萬．用科學(xué)記數(shù)法將27.8萬表示為（　　）

A．2.78×106????????????? B．27.8×106????????????? C．2.78×105????????????? D．27.8×105

3．（2016丹東數(shù)學(xué)）如圖，是某幾何體的俯視圖，該幾何體可能是（　　）

A．圓柱????????????? B．圓錐????????????? C．球????????????? D．正方體

4．如果一組數(shù)據(jù)2，4，x，3，5的眾數(shù)是4，那么該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（　　）

A．5.2????????????? B．4.6????????????? C．4????????????? D．3.6

5．下列計算正確的是（　　）

A．2a+a=3a2????????????? B．4﹣2=﹣????????????? C． =±3????????????? D．（a3）2=a6

6．（2016丹東數(shù)學(xué)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數(shù)為（　　）

A．15°????????????? B．17.5°????????????? C．20°????????????? D．22.5°

7．過矩形ABCD的對角線AC的中點O作EF⊥AC，交BC邊于點E，交AD邊于點F，分別連接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，則EF的長為（　　）

A．2????????????? B．3????????????? C．????????????? D．

9．一次函數(shù)y=﹣x+a﹣3（a為常數(shù)）與反比例函數(shù)y=﹣的圖象交于A、B兩點，當(dāng)A、B兩點關(guān)于原點對稱時a的值是（　　）

A．0????????????? B．﹣3????????????? C．3????????????? D．4

二、填空題

10．（2016丹東數(shù)學(xué)）如圖，正六邊形卡片被分成六個全等的正三角形．若向該六邊形內(nèi)投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為　　　　　　．

11．如圖，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，則∠3=　　　　　　°．

12．分解因式：3x2﹣12x+12=　　　　　　．

13．若a＜＜b，且a、b是兩個連續(xù)的整數(shù)，則ab=　　　　　　．

14．（2016丹東數(shù)學(xué)）不等式組的解集為　　　　　　．

15．在菱形ABCD中，對角線AC，BD的長分別是6和8，則菱形的周長是　　　　　　．

16．若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一個根，那么a=　　　　　　．

17．如圖，直線OD與x軸所夾的銳角為30°，OA1的長為1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△AnAn+1Bn均為等邊三角形，點A1、A2、A3…An+1在x軸的正半軸上依次排列，點B1、B2、B3…Bn在直線OD上依次排列，那么點Bn的坐標(biāo)為　　　　　　．

三、（2016丹東數(shù)學(xué)）解答題

18．先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a=3．

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1，4），B（4，2），C（3，5）

20．某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了解本校學(xué)生對電視節(jié)目的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生最喜愛哪一類節(jié)目（被調(diào)查的學(xué)生只選一類并且沒有不選擇的），并將調(diào)查結(jié)果制成了如下的兩個統(tǒng)計圖（不完整）．請你根據(jù)圖中所提供的信息，完成下列問題：

（1）求本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；

（2）請將兩個統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整，并求出新聞節(jié)目在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角的度數(shù)；

（3）若該中學(xué)有2000名學(xué)生，請估計該校喜愛電視劇節(jié)目的人數(shù)．

21．（2016丹東數(shù)學(xué)）從甲市到乙市乘坐高速列車的路程為180千米，乘坐普通列車的路程為240千米．高速列車的平均速度是普通列車的平均速度的3倍．高速列車的乘車時間比普通列車的乘車時間縮短了2小時．高速列車的平均速度是每小時多少千米？

五、

22．一個不透明的口袋中裝有4個分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，﹣2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同．小紅先從口袋中隨機(jī)摸出一個小球記下數(shù)字為x；小穎在剩下的3個小球中隨機(jī)摸出一個小球記下數(shù)字為y．

（1）小紅摸出標(biāo)有數(shù)字3的小球的概率是　　　　　　；

（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法表示出由x，y確定的點P（x，y）所有可能的結(jié)果；

（3）若規(guī)定：點P（x，y）在第一象限或第三象限小紅獲勝；點P（x，y）在第二象限或第四象限則小穎獲勝．請分別求出兩人獲勝的概率．

23．（2016丹東數(shù)學(xué)）如圖，AB是⊙O的直徑， =，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C．

（1）若OA=CD=2，求陰影部分的面積；

（2）求證：DE=DM．

六、

24．（2016丹東數(shù)學(xué)）如圖，線段AB，CD表示甲、乙兩幢居民樓的高，兩樓間的距離BD是60米．某人站在A處測得C點的俯角為37°，D點的俯角為48°（人的身高忽略不計），求乙樓的高度CD．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈，tan48°≈）

25．某商店購進(jìn)一種商品，每件商品進(jìn)價30元．試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量y（件）與每件銷售價x（元）的關(guān)系數(shù)據(jù)如下：

x	30	32	34	36
y	40	36	32	28

（1）已知y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)上表，求出y與x之間的關(guān)系式（不寫出自變量x的取值范圍）；

（2）如果商店銷售這種商品，每天要獲得150元利潤，那么每件商品的銷售價應(yīng)定為多少元？

（3）設(shè)該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w（元），求出w與x之間的關(guān)系式，并求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大？

七、（2016丹東數(shù)學(xué)）（本題12分）

26．在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．

（1）如圖1，若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；

（2）將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜45°）．

①如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠DOM=15°時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；

③如圖3，旋轉(zhuǎn)后，若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當(dāng)BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BD=m?BP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．

八、（2016丹東數(shù)學(xué)）（本題14分）

27．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標(biāo)為（8，0），連接AB、AC．

（1）請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達(dá)式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）若點N在x軸上運動，當(dāng)以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標(biāo)；

（4）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當(dāng)△AMN面積最大時，求此時點N的坐標(biāo)．

2016丹東數(shù)學(xué)參考答案與試題解析

一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個是正確的.每小題3分，共24分）

1．﹣2015的絕對值是（　　）

A．﹣2015????????????? B．2015????????????? C．????????????? D．﹣

【考點】絕對值．

【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義，求解即可．注意正數(shù)的絕對值是本身，0的絕對值為0，負(fù)數(shù)的絕對值是其相反數(shù)．

【解答】解：∵﹣2015的絕對值等于其相反數(shù)，

∴﹣2015的絕對值是2015；

故答案為：2015．

【點評】此題考查了絕對值的知識，掌握絕對值的意義是本題的關(guān)鍵，解題時要細(xì)心．

2．（2016丹東數(shù)學(xué)）據(jù)統(tǒng)計，2015年在“情系桃源，好運丹東”的鴨綠江桃花觀賞活動中，6天內(nèi)參與人次達(dá)27.8萬．用科學(xué)記數(shù)法將27.8萬表示為（　　）

A．2.78×106????????????? B．27.8×106????????????? C．2.78×105????????????? D．27.8×105

【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．

【解答】解：將27.8萬用科學(xué)記數(shù)法表示為2.78×105．

故選：C．

【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．

3．（2016丹東數(shù)學(xué)）如圖，是某幾何體的俯視圖，該幾何體可能是（　　）

A．圓柱????????????? B．圓錐????????????? C．球????????????? D．正方體

【考點】由三視圖判斷幾何體．

【分析】根據(jù)幾何體的俯視圖是從上面看，所得到的圖形分別寫出各個幾何體的俯視圖判斷即可．

【解答】解：圓柱的俯視圖是圓，A錯誤；

圓錐的俯視圖是圓，且中心由一個實點，B正確；

球的俯視圖是圓，C錯誤；

正方體的俯視圖是正方形，D錯誤．

故選：B．

【點評】本題考查了三視圖的概念，掌握主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形是解題的關(guān)鍵．

4．如果一組數(shù)據(jù)2，4，x，3，5的眾數(shù)是4，那么該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（　　）

A．5.2????????????? B．4.6????????????? C．4????????????? D．3.6

【考點】算術(shù)平均數(shù)；眾數(shù)．

【分析】根據(jù)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4，求出x的值，根據(jù)平均數(shù)的公式求出平均數(shù)．

【解答】解：∵這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4，

∴x=4，

=（2+4+4+3+5）=3.6．

故選：D．

【點評】本題考查的是平均數(shù)的計算公式和眾數(shù)的概念，掌握平均數(shù)的計算公式和眾數(shù)的確定方法是解題的關(guān)鍵．

5．（2016丹東數(shù)學(xué)）下列計算正確的是（　　）

A．2a+a=3a2????????????? B．4﹣2=﹣????????????? C． =±3????????????? D．（a3）2=a6

【考點】冪的乘方與積的乘方；算術(shù)平方根；合并同類項；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．

【分析】A、依據(jù)合并同類項法則計算即可；B、根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的法則計算即可；C、根據(jù)算術(shù)平方根的定義可做出判斷；D、依據(jù)冪的乘方的運算法則進(jìn)行計算即可．

【解答】解：A、2a+a=3a，故A錯誤；

B、4﹣2==，故B錯誤；

C、，故C錯誤；

D、（a3）2=a3×2=a6，故D正確．

故選：D．

【點評】本題主要考查的是數(shù)與式的計算，掌握合并同類項、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、算術(shù)平方根以及冪的乘方的運算法則是解題的關(guān)鍵．

6（2016丹東數(shù)學(xué)）．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數(shù)為（　　）

A．15°????????????? B．17.5°????????????? C．20°????????????? D．22.5°

【考點】等腰三角形的性質(zhì)．

【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，則2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性質(zhì)得到∠D=∠A，然后把∠A的度數(shù)代入計算即可．

【解答】解：∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點D，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠ACE=∠A+∠ABC，

即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，

∴2∠1=2∠3+∠A，

∵∠1=∠3+∠D，

∴∠D=∠A=×30°=15°．

故選A．

【點評】（2016丹東數(shù)學(xué)）本題考查了三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°和三角形外角性質(zhì)進(jìn)行分析．

7．過矩形ABCD的對角線AC的中點O作EF⊥AC，交BC邊于點E，交AD邊于點F，分別連接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，則EF的長為（　　）

A．2????????????? B．3????????????? C．????????????? D．

【考點】菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．

【分析】求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角邊”證明△AOF和△COE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OE=OF，再根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形得到四邊形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判斷出△CEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得EF=CF，根據(jù)矩形的對邊相等可得CD=AB，然后求出CF，從而得解．

【解答】（2016丹東數(shù)學(xué)）解：∵矩形對邊AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC，

∵O是AC的中點，

∴AO=CO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE=OF，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形，

∵∠DCF=30°，

∴∠ECF=90°﹣30°=60°，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF=CF，

∵AB=，

∴CD=AB=，

∵∠DCF=30°，

∴CF=÷=2，

∴EF=2．

故選A．

【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，難點在于判斷出△CEF是等邊三角形．

9．（2016丹東數(shù)學(xué)）一次函數(shù)y=﹣x+a﹣3（a為常數(shù)）與反比例函數(shù)y=﹣的圖象交于A、B兩點，當(dāng)A、B兩點關(guān)于原點對稱時a的值是（　　）

A．0????????????? B．﹣3????????????? C．3????????????? D．4

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)．

【專題】計算題；壓軸題．

【分析】設(shè)A（t，﹣），根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征得B（﹣t，），然后把A（t，﹣），B（﹣t，）分別代入y=﹣x+a﹣3得﹣=﹣t+a﹣3， =t+a﹣3，兩式相加消去t得2a﹣6=0，再解關(guān)于a的一次方程即可．

【解答】解：設(shè)A（t，﹣），

∵A、B兩點關(guān)于原點對稱，

∴B（﹣t，），

把A（t，﹣），B（﹣t，）分別代入y=﹣x+a﹣3得﹣=﹣t+a﹣3， =t+a﹣3，

兩式相加得2a﹣6=0，

∴a=3．

故選C．

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．

二、（2016丹東數(shù)學(xué)）填空題

10．如圖，正六邊形卡片被分成六個全等的正三角形．若向該六邊形內(nèi)投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為　　．

【考點】幾何概率．

【分析】確定陰影部分的面積在整個轉(zhuǎn)盤中占的比例，根據(jù)這個比例即可求出飛鏢落在陰影區(qū)域的概率．

【解答】解：如圖：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤被均勻分成6部分，陰影部分占2份，飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是；

故答案為：．

【點評】本題考查了幾何概率．用到的知識點為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．

11．（2016丹東數(shù)學(xué)）如圖，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，則∠3=　110　°．

【考點】平行線的判定與性質(zhì)．

【分析】根據(jù)對頂角相等得出∠2=∠MEN，利用同位角相等，兩直線平行得出AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)解答即可．

【解答】解：∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°，

∴∠1=∠MEN，

∴AB∥CD，

∴∠3+∠BMN=180°，

∵M(jìn)N平分∠EMB，

∴∠BMN=，

∴∠3=180°﹣70°=110°．

故答案為：110．

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．

12．（2016丹東數(shù)學(xué)）分解因式：3x2﹣12x+12=　3（x﹣2）2　．

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．

【專題】計算題．

【分析】原式提取3后，利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式=3（x2﹣4x+4）=3（x﹣2）2，

故答案為：3（x﹣2）2

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．

13．若a＜＜b，且a、b是兩個連續(xù)的整數(shù)，則ab=　8　．

【考點】估算無理數(shù)的大小．

【分析】先估算出的范圍，即可得出a、b的值，代入求出即可．

【解答】解：∵2＜＜3，

∴a=2，b=3，

∴ab=8．

故答案為：8．

【點評】（2016丹東數(shù)學(xué)）本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出的范圍．

14．不等式組的解集為　﹣1＜x＜1　．

【考點】解一元一次不等式組．

【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解．

【解答】解：，

由①得，x＞﹣1，

由②得，x＜1．

所以，不等式組的解集為﹣1＜x＜1．

故答案為﹣1＜x＜1．

【點評】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．

15．（2016丹東數(shù)學(xué)）在菱形ABCD中，對角線AC，BD的長分別是6和8，則菱形的周長是　20　．

【考點】菱形的性質(zhì)．

【專題】計算題．

【分析】AC與BD相交于點O，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，OD=OB=BD=4，OA=OC=AC=3，AB=BC=CD=AD，則可在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理計算出AD=5，于是可得菱形ABCD的周長為20．

【解答】解：AC與BD相交于點O，如圖，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD，OD=OB=BD=4，OA=OC=AC=3，AB=BC=CD=AD，

在Rt△AOD中，∵OA=3，OB=4，

∴AD==5，

∴菱形ABCD的周長=4×5=20．

故答案為20．

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．

16．（2016丹東數(shù)學(xué)）若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一個根，那么a=　﹣3　．

【考點】一元二次方程的解．

【分析】根據(jù)方程的根的定義將x=1代入方程得到關(guān)于a的方程，然后解得a的值即可．

【解答】解：將x=1代入得：1+2+a=0，

解得：a=﹣3．

故答案為：﹣3．

【點評】本題主要考查的是方程的解（根）的定義和一元一次方程的解法，將方程的解代入方程是解題的關(guān)鍵．

17．如圖，直線OD與x軸所夾的銳角為30°，OA1的長為1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△AnAn+1Bn均為等邊三角形，點A1、A2、A3…An+1在x軸的正半軸上依次排列，點B1、B2、B3…Bn在直線OD上依次排列，那么點Bn的坐標(biāo)為　（3×2n﹣2，×2n﹣2）　．

【考點】（2016丹東數(shù)學(xué)）一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；等邊三角形的性質(zhì)．

【專題】壓軸題；規(guī)律型．

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和∠B1OA2=30°，可求得∠B1OA2=∠A1B1O=30°，可求得OA2=2OA1=2，同理可求得OAn=2n﹣1，再結(jié)合含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求得△AnBnAn+1的邊長，進(jìn)一步可求得點Bn的坐標(biāo)．

【解答】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，

∴∠B1A1A2=60°，

∵∠B1OA2=30°，

∴∠B1OA2=∠A1B1O=30°，可求得OA2=2OA1=2，

同理可求得OAn=2n﹣1，

∵∠BnOAn+1=30°，∠BnAnAn+1=60°，

∴∠BnOAn+1=∠OBnAn=30°

∴BnAn=OAn=2n﹣1，

即△AnBnAn+1的邊長為2n﹣1，則可求得其高為×2n﹣1=×2n﹣2，

∴點Bn的橫坐標(biāo)為×2n﹣1+2n﹣1=×2n﹣1=3×2n﹣2，

∴點Bn的坐標(biāo)為（3×2n﹣2，×2n﹣2）．

故答案為（3×2n﹣2，×2n﹣2）．

【點評】（2016丹東數(shù)學(xué)）本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)條件找到等邊三角形的邊長和OA1的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

三、解答題

18．先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a=3．

【考點】分式的化簡求值．

【分析】先計算括號里面的，再把分子、分母因式分解，約分即可，把a(bǔ)=3代入計算即可．

【解答】解：原式=×

=，

當(dāng)a=3時，原式==．

【點評】本題考查了分式的化簡求值，解答此題的關(guān)鍵是把分式化到最簡，然后代值計算．

19．（2016丹東數(shù)學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1，4），B（4，2），C（3，5）

（1）求本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；

（2）請將兩個統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整，并求出新聞節(jié)目在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角的度數(shù)；

（3）若該中學(xué)有2000名學(xué)生，請估計該校喜愛電視劇節(jié)目的人數(shù)．

【考點】條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖．

【分析】（1）根據(jù)喜愛電視劇的人數(shù)是69人，占總?cè)藬?shù)的23%，即可求得總?cè)藬?shù)；

（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)和喜歡娛樂節(jié)目的百分?jǐn)?shù)可求的其人數(shù)，補(bǔ)全即可；利用360°乘以對應(yīng)的百分比即可求得圓心角的度數(shù)；

（3）利用總?cè)藬?shù)乘以對應(yīng)的百分比即可求解．

【解答】（2016丹東數(shù)學(xué)）解：（1）69÷23%=300（人）

∴本次共調(diào)查300人；

（2）∵喜歡娛樂節(jié)目的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的20%，

∴20%×300=60（人），補(bǔ)全如圖；

∵360°×12%=43.2°，

∴新聞節(jié)目在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角的度數(shù)為43.2°；

（3）2000×23%=460（人），

∴估計該校有460人喜愛電視劇節(jié)目．

【點評】（2016丹東數(shù)學(xué)）本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．

21．從甲市到乙市乘坐高速列車的路程為180千米，乘坐普通列車的路程為240千米．高速列車的平均速度是普通列車的平均速度的3倍．高速列車的乘車時間比普通列車的乘車時間縮短了2小時．高速列車的平均速度是每小時多少千米？

【考點】分式方程的應(yīng)用．

【分析】設(shè)普通列車平均速度每小時x千米，則高速列車平均速度每小時3x千米，根據(jù)題意可得，坐高鐵走180千米比坐普通車240千米少用2小時，據(jù)此列方程求解．

【解答】解：設(shè)普通列車平均速度每小時x千米，則高速列車平均速度每小時3x千米，

根據(jù)題意得，﹣=2，

解得：x=90，

經(jīng)檢驗，x=90是所列方程的根，

則3x=3×90=270．

答：高速列車平均速度為每小時270千米．

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗．

五、

22．（2016丹東數(shù)學(xué)）一個不透明的口袋中裝有4個分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，﹣2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同．小紅先從口袋中隨機(jī)摸出一個小球記下數(shù)字為x；小穎在剩下的3個小球中隨機(jī)摸出一個小球記下數(shù)字為y．

（1）小紅摸出標(biāo)有數(shù)字3的小球的概率是　　；

（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法表示出由x，y確定的點P（x，y）所有可能的結(jié)果；

（3）若規(guī)定：點P（x，y）在第一象限或第三象限小紅獲勝；點P（x，y）在第二象限或第四象限則小穎獲勝．請分別求出兩人獲勝的概率．

【考點】列表法與樹狀圖法．

【專題】計算題．

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解；

（2）通過列表展示所有12種等可能性的結(jié)果數(shù)；

（3）找出在第一象限或第三象限的結(jié)果數(shù)和第二象限或第四象限的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算兩人獲勝的概率．

【解答】解：（1）小紅摸出標(biāo)有數(shù)字3的小球的概率是；

故答案為；

（2）（2016丹東數(shù)學(xué)）列表如下：

	﹣1	﹣2	3	4
﹣1		（﹣1，﹣2）	（﹣1，3）	（﹣1，4）
﹣2	（﹣2，﹣1）		（﹣2，3）	（﹣2，4）
3	（3，﹣1）	（3，﹣2）		（3，4）
4	（4，﹣1）	（4，﹣2）	（4，3）

（3）從上面的表格可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中點（x，y）在第一象限或第三象限的結(jié)果有4種，第二象限或第四象限的結(jié)果有8種，

所以小紅獲勝的概率==，小穎獲勝的概率==．

【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．

23．如圖，AB是⊙O的直徑， =，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C．

（1）若OA=CD=2，求陰影部分的面積；

（2）求證：DE=DM．

【考點】（2016丹東數(shù)學(xué)）切線的性質(zhì)；扇形面積的計算．

【專題】證明題．

【分析】（1）連接OD，根據(jù)已知和切線的性質(zhì)證明△OCD為等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根據(jù)S陰影=S△OCD﹣S扇OBD計算即可；

（2）連接AD，根據(jù)弦、弧之間的關(guān)系證明DB=DE，證明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．

【解答】（1）解：如圖，連接OD，

∵CD是⊙O切線，

∴OD⊥CD，

∵OA=CD=2，OA=OD，

∴OD=CD=2，

∴△OCD為等腰直角三角形，

∴∠DOC=∠C=45°，

∴S陰影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；

（2）證明：如圖，連接AD，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ADB=∠ADM=90°，

又∵=，

∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，

在△AMD和△ABD中，

，

∴△AMD≌△ABD，

∴DM=BD，

∴DE=DM．

【點評】（2016丹東數(shù)學(xué)）本題考查的是切線的性質(zhì)、弦、弧之間的關(guān)系、扇形面積的計算，掌握切線的性質(zhì)定理和扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵，注意輔助線的作法．

六、

24．如圖，線段AB，CD表示甲、乙兩幢居民樓的高，兩樓間的距離BD是60米．某人站在A處測得C點的俯角為37°，D點的俯角為48°（人的身高忽略不計），求乙樓的高度CD．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈，tan48°≈）

【考點】（2016丹東數(shù)學(xué)）解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．

【分析】過點C作CE⊥AB交AB于點E，在直角△ADB中利用三角函數(shù)求得AB的長，然后在直角△AEC中求得AE的長，即可求解．

【解答】解：過點C作CE⊥AB交AB于點E，

則四邊形EBDC為矩形，

∴BE=CD? CE=BD=60，

如圖，根據(jù)題意可得，

∠ADB=48°，∠ACE=37°，

∵，

在Rt△ADB中，

則AB=tan48°?BD≈（米），

∵，

在Rt△ACE中，

則AE=tan37°?CE≈（米），

∴CD=BE=AB﹣AE=66﹣45=21（米），

∴乙樓的高度CD為21米．

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，本題要求學(xué)生借助俯角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．

x	30	32	34	36
y	40	36	32	28

（1）已知y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)上表，求出y與x之間的關(guān)系式（不寫出自變量x的取值范圍）；

（2）如果商店銷售這種商品，每天要獲得150元利潤，那么每件商品的銷售價應(yīng)定為多少元？

（3）設(shè)該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w（元），求出w與x之間的關(guān)系式，并求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大？

【考點】（2016丹東數(shù)學(xué)）二次函數(shù)的應(yīng)用．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法解出解析式即可；

（2）根據(jù)題意列出方程解答即可；

（3）根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，利用函數(shù)解析式的最值解答即可．

【解答】解：（1）設(shè)該函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b，根據(jù)題意，得

，

解得：．

故該函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣2x+100；

（2）根據(jù)題意得，

（﹣2x+100）（x﹣30）=150，

解這個方程得，x1=35，x2=45，

故每件商品的銷售價定為35元或45元時日利潤為150元；

（3）根據(jù)題意，得

w=（﹣2x+100）（x﹣30）

=﹣2x2+160x﹣3000

=﹣2（x﹣40）2+200，

∵a=﹣2＜0 則拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，

即當(dāng)x=40時，w的值最大，

∴當(dāng)銷售單價為40元時獲得利潤最大．

【點評】（2016丹東數(shù)學(xué)）此題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程和函數(shù)解析式，利用函數(shù)解析式的最值分析．

七、（本題12分）

26．在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．

（1）如圖1，若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；

（2）將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜45°）．

①如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠DOM=15°時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；

【考點】（2016丹東數(shù)學(xué)）四邊形綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可；

（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△FOA≌△EOD，得到答案；

②作OG⊥AB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長，根據(jù)勾股定理求值即可；

③過點P作HP⊥BD交AB于點H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)解答結(jié)果總結(jié)規(guī)律得到當(dāng)BD=m?BP時，PE與PF的數(shù)量關(guān)系．

【解答】（2016丹東數(shù)學(xué)）解：（1）PE=PF，理由：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BAC=∠DAC，又PM⊥AD、PN⊥AB，

∴PE=PF；

（2）①成立，理由：

∵AC、BD是正方形ABCD的對角線，

∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°，

∴∠DOE+∠AOE=90°，

∵∠MPN=90°，

∴∠FOA+∠AOE=90°，

∴∠FOA=∠DOE，

在△FOA和△EOD中，

，

∴△FOA≌△EOD，

∴OE=OF，即PE=PF；

②作OG⊥AB于G，

∵∠DOM=15°，

∴∠AOF=15°，則∠FOG=30°，

∵cos∠FOG=，

∴OF==，又OE=OF，

∴EF=；

③PE=2PF，

證明：如圖3，過點P作HP⊥BD交AB于點H，

則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90°，

∴HP=BP，

∵BD=3BP，

∴PD=2BP，

∴PD=2 HP，

又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，

∴∠HPF=∠DPE，

又∵∠BHP=∠EDP=45°，

∴△PHF∽△PDE，

∴==，

即PE=2PF，

由此規(guī)律可知，當(dāng)BD=m?BP時，PE=（m﹣1）?PF．

【點評】（2016丹東數(shù)學(xué)）本題考查的是正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系正確運用三角形全等和相似的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，正確作出輔助線是解答本題的重點．

八、（本題14分）

27．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標(biāo)為（8，0），連接AB、AC．