基本事實(shí)和公理的區(qū)別

“公理”是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的基本數(shù)學(xué)知識(shí)并作為判定其它命題真假的根據(jù)，經(jīng)過(guò)人類(lèi)長(zhǎng)期反復(fù)的實(shí)踐檢驗(yàn)是真實(shí)的，大家普遍公認(rèn)的、不需要由其他判斷加以證明、且也不能由其他判斷證明的命題和原理。一些學(xué)科就是建立在這樣一些公理的基礎(chǔ)上；“基本事實(shí)”是說(shuō)人證物證都在，邏輯上能說(shuō)明它是正確的。

公理的歷史發(fā)展

經(jīng)由可靠的論證（三段論、推理規(guī)則）由前提（原有的知識(shí)）導(dǎo)至結(jié)論（新的知識(shí)）的邏輯演繹方法，是由古希臘人發(fā)展出來(lái)的，并已成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心原則。除了重言式之外，沒(méi)有任何事物可被推導(dǎo)，若沒(méi)有任何事物被假定的話。公理即是導(dǎo)出特定一套演繹知識(shí)的基本假設(shè)。

公理不證自明，而所有其他的斷言（若談?wù)摰氖菙?shù)學(xué)，則為定理）則都必須借助這些基本假設(shè)才能被證明。然而，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的解釋從古至今已不太一樣，且最終“公理”這一詞對(duì)今日的數(shù)學(xué)家眼中和在亞里斯多德和歐幾里得眼中的意思也有了些許的不同。

古希臘人認(rèn)為幾何學(xué)也是數(shù)種科學(xué)的其中之一，且視幾何學(xué)的定理和科學(xué)事實(shí)有同等地位。他們發(fā)展并使用邏輯演繹方法來(lái)作為避免錯(cuò)誤的方法，并以此來(lái)建構(gòu)及傳遞知識(shí)。亞里斯多德的后分析篇是對(duì)此傳統(tǒng)觀點(diǎn)的一決定性的闡述。

“公理”，以傳統(tǒng)的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，是指在許多科學(xué)分支中所共有的一個(gè)不證自明的假設(shè)。

在各種科學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)中，或許會(huì)有某些未經(jīng)證明而被接受的附加假定，此類(lèi)假定稱(chēng)為“公設(shè)”。公理是許多科學(xué)分支所共有的，而各個(gè)科學(xué)分支中的公設(shè)則是不同的。公設(shè)的有效性必須建立在現(xiàn)實(shí)世界的經(jīng)驗(yàn)上。確實(shí)，亞里斯多德曾言，若讀者懷疑公設(shè)的真實(shí)性，這門(mén)科學(xué)之內(nèi)容便無(wú)法成功傳遞。

傳統(tǒng)的做法在《幾何原本》中很好地描繪了出來(lái)，其中給定一些公設(shè)（從人們的經(jīng)驗(yàn)中總結(jié)出的幾何常識(shí)事實(shí)），以及一些“公理”（極基本、不證自明的斷言）。