請點擊全屏查看
2017年湖北省黃石市中考數學試卷
一、選擇題
1.(2017黃石市數學試題)下列各數是有理數的是( )
A.﹣????????????? B.
????????????? C.
????????????? D.π
2.地球繞太陽公轉的速度約為110000km/h,則110000用科學記數法可表示為( )
A.0.11×106????????????? B.1.1×105????????????? C.0.11×105????????????? D.1.1×106
3.下列圖形中既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是( )
A.????????????? B.
????????????? C.
????????????? D.
4.下列運算正確的是( )
A.a0=0????????????? B.a2+a3=a5????????????? C.a2?a﹣1=a????????????? D. +
=
5.如圖,該幾何體主視圖是( )
A.????????????? B.
????????????? C.
????????????? D.
6.下表是某位男子馬拉松長跑運動員近6次的比賽成績(單位:分鐘)
第幾次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
比賽成績 | 145 | 147 | 140 | 129 | 136 | 125 |
則這組成績的中位數和平均數分別為( )
A.137、138????????????? B.138、137????????????? C.138、138????????????? D.137、139
7.(2017黃石市數學試題)如圖,△ABC中,E為BC邊的中點,CD⊥AB,AB=2,AC=1,DE=
,則∠CDE+∠ACD=( )
A.60°????????????? B.75°????????????? C.90°????????????? D.105°
8.如圖,是二次函數y=ax2+bx+c的圖象,對下列結論①ab>0,②abc>0,③<1,其中錯誤的個數是( )
A.3????????????? B.2????????????? C.1????????????? D.0
9.如圖,已知⊙O為四邊形ABCD的外接圓,O為圓心,若∠BCD=120°,AB=AD=2,則⊙O的半徑長為( )
A.????????????? B.
????????????? C.
????????????? D.
10.如圖,已知凸五邊形ABCDE的邊長均相等,且∠DBE=∠ABE+∠CBD,AC=1,則BD必定滿足( )
A.BD<2????????????? B.BD=2
C.BD>2????????????? D.以上情況均有可能
二、(2017黃石市數學試題)填空題
11.因式分解:x2y﹣4y= ?? .
12.分式方程=
﹣2的解為 ?? .
13.如圖,已知扇形OAB的圓心角為60°,扇形的面積為6π,則該扇形的弧長為 ?? .
14.如圖所示,為了測量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度,一測量人員在該建筑物附近C處,測得建筑物頂端A處的仰角大小為45°,隨后沿直線BC向前走了100米后到達D處,在D處測得A處的仰角大小為30°,則建筑物AB的高度約為 ?? 米.
(注:不計測量人員的身高,結果按四舍五入保留整數,參考數據:≈1.41,
≈1.73)
15.甲、乙兩位同學各拋擲一枚質地均勻的骰子,他們拋擲的點數分別記為a、b,則a+b=9的概率為 ?? .
16.觀察下列格式:
=1﹣
=
+
=1﹣
+
﹣
=
+
+
=1﹣
+
﹣
+
﹣
=
…
請按上述規律,寫出第n個式子的計算結果(n為正整數) ?? .(寫出最簡計算結果即可)
三、(2017黃石市數學試題)解答題
17.計算:(﹣2)3++10+|﹣3+
|.
18.先化簡,再求值:(﹣
)÷
,其中a=2sin60°﹣tan45°.
19.已知關于x的不等式組恰好有兩個整數解,求實數a
的取值范圍.
20.已知關于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0
(1)求證:該方程有兩個不等的實根;
(2)若該方程的兩個實數根x1、x2滿足x1+2x2=9,求m的值.
21.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BC為⊙O的直徑,點E為△ABC的內心,連接AE并延長交⊙O于D點,連接BD并延長至F,使得BD=DF,連接CF、BE.
(1)求證:DB=DE;
(2)求證:直線CF為⊙O的切線.
22.隨著社會的發展,私家車變得越來越普及,使用節能低油耗汽車,對環保有著非常積極的意義,某市有關部門對本市的某一型號的若干輛汽車,進行了一項油耗抽樣實驗:即在同一條件下,被抽樣的該型號汽車,在油耗1L的情況下,所行駛的路程(單位:km)進行統計分析,結果如圖所示:
(注:記A為12~12.5,B為12.5~13,C為13~13.5,D為13.5~14,E為14~14.5)
請依據統計結果回答以下問題:
(1)試求進行該試驗的車輛數;
(2)請補全頻數分布直方圖;
(3)若該市有這種型號的汽車約900輛(不考慮其他因素),請利用上述統計數據初步預測,該市約有多少輛該型號的汽車,在耗油1L的情況下可以行駛13km以上?
23.小明同學在一次社會實踐活動中,通過對某種蔬菜在1月份至7月份的市場行情進行統計分析后得出如下規律:
①該蔬菜的銷售價P(單位:元/千克)與時間x(單位:月份)滿足關系:P=9﹣x
②該蔬菜的平均成本y(單位:元/千克)與時間x(單位:月份)滿足二次函數關系y=ax2+bx+10,已知4月份的平均成本為2元/千克,6月份的平均成本為1元/千克.
(1)求該二次函數的解析式;
(2)請運用小明統計的結論,求出該蔬菜在第幾月份的平均利潤L(單位:元/千克)最大?最大平均利潤是多少?(注:平均利潤=銷售價﹣平均成本)
24.(2017黃石市數學試題)在現實生活中,我們會看到許多“標準”的矩形,如我們的課本封面、A4的打印紙等,其實這些矩形的長與寬之比都為:1,我們不妨就把這樣的矩形稱為“標準矩形”,在“標準矩形”AB
CD中,P為DC邊上一定點,且CP=BC,如圖所示.
(1)如圖①,求證:BA=BP;
(2)如圖②,點Q在DC上,且DQ=CP,若G為BC邊上一動點,當△AGQ的周長最小時,求的值;
(3)如圖③,已知AD=1,在(2)的條件下,連接AG并延長交DC的延長線于點F,連接BF,T為BF的中點,M、N分別為線段PF與AB上的動點,且始終保持PM=BN,請證明:△MNT的面積S為定值,并求出這個定值.
25.如圖,直線l:y=kx+b(k<0)與函數y=(x>0)的圖象相交于A、C兩點,與x軸相交于T點,過A、C兩點作x軸的垂線,垂足分別為B、D,過A、C兩點作y軸的垂線,垂足分別為E、F;直線AE與CD相交于點P,連接DE,設A、C兩點的坐標分別為(a,
)、(c,
),其中a>c>0.
(1)如圖①,求證:∠EDP=∠ACP;
(2)如圖②,若A、D、E、C四點在同一圓上,求k的值;
(3)如圖③,已知c=1,且點P在直線BF上,試問:在線段AT上是否存在點M,使得OM⊥AM?請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
2017年湖北省黃石市中考數學試卷
參考答案與試題解析
一、(2017黃石市數學試題)選擇題
1.下列各數是有理數的是( )
A.﹣????????????? B.
????????????? C.
????????????? D.π
【考點】27:實數.
【分析】利用有理數的定義判斷即可.
【解答】解:有理數為﹣,無理數為
,
,π,
故選A
2.地球繞太陽公轉的速度約為110000km/h,則110000用科學記數法可表示為( )
A.0.11×106????????????? B.1.1×105????????????? C.0.11×105????????????? D.1.1×106
【考點】1I:科學記數法—表示較大的數.
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數.確定n的值時,要看把原數變成a時,小數點移動了
多少位,n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時,n是正數;當原數的絕對值<1時,n是負數.
【解答】解:將110000用科學記數法表示為:1.1×105.
故選B.
3.下列圖形中既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是( )
A.????????????? B.
????????????? C.
????????????? D.
【考點】R5:中心對稱圖形;P3:軸對稱圖形.
【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.
【解答】解:A、不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形,故本選項錯誤;
B、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故本選項錯誤;
C、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故本選項錯誤;
D、既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,故本選項正確.
故選D.
4.下列運算正確的是( )
A.a0=0????????????? B.a2+a3=a5????????????? C.a2?a﹣1=a????????????? D. +
=
【考點】6B:分式的加減法;35:合并同類項;46:同底數冪的乘法;6E:零指數冪;6F:負整數指數冪.
【分析】根據整式的運算法則以及分式的運算法則即可求出答案.
【解答】解:(A)a0=1(a≠0),故A錯誤;
(B)a2與a3不是同類項,故B錯誤;
(D)原式=,故D錯誤;
故選(C)
5.(2017黃石市數學試題)如圖,該幾何體主視圖是( )
A.????????????? B.
????????????? C.
????????????? D.
【考點】U1:簡單幾何體的三視圖.
【分析】根據三棱柱的特點并結合選項作出正確的判斷即可.
【解答】解:三棱柱的主視圖為矩形,
∵正對著的有一條棱,
∴矩形的中間應該有一條實線,
故選B.
6.下表是某位男子馬拉松長跑運動員近6次的比賽成績(單位:分鐘)
第幾次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
比賽成績 | 145 | 147 | 140 | 129 | 136 | 125 |
則這組成績的中位數和平均數分別為( )
A.137、138????????????? B.138、137????????????? C.138、138????????????? D.137、139
【考點】W4:中位數;W1:算術平均數.
【分析】根據中位數的定義和平均數的求法計算即可,中位數是將一組數據按照從小到大(或從大到小)的順序排列,如果數據的個數是奇數,則處于中間位置的數就是這組數據的中位數.如果這組數據的個數是偶數,則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數.
【解答】解:把這組數據按從大到小的順序排列是:125,129,136,140,145,147,
故這組數據的中位數是:÷2=138;
平均數=÷6=137.
故選B.
[來源:學。科。網]
7.如圖,△ABC中,E為BC邊的中點,CD⊥AB,AB=2,AC=1,DE=,則∠CDE+∠ACD=( )
A.60°????????????? B.75°????????????? C.90°????????????? D.105°
【考點】KS:勾股定理的逆定理;KP:直角三角形斜邊上的中線.
【分析】根據直角三角形的性質得到BC=2CE=,根據勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°,根據三角函數的定義得到∠A=60°,求得∠ACD=∠B=30°,得到∠DCE=60°,于是得到結論.
【解答】解:∵CD⊥AB,E為BC邊的中點,
∴BC=2CE=,
∵AB=2,AC=1,
∴AC2+BC2=12+()2=4=22=AB2,[來源:Z,xx,k.Com]
∴∠ACB=90°,
∵tan∠A==
,
∴∠A=60°,
∴∠ACD=∠B=30°,[來源:學科網ZXXK]
∴∠DCE=60°,
∵DE=CE,
∴∠CDE=60°,
∴∠CDE+∠ACD=90°,
故選C.
8.(2017黃石市數學試題)如圖,是二次函數y=ax2+bx+c的圖象,對下列結論①ab>0,②abc>0,③<1,其中錯誤的個數是( )
A.3????????????? B.2????????????? C.1????????????? D.0
【考點】H4:二次函數圖象與系數的關系.
【分析】根據拋物線的開口方向,判斷a的符號,對稱軸在y軸的右側判斷b的符號,拋物線和y軸的交點坐標判斷c的符號,以及拋物線與x軸的交點個數判斷b2﹣4ac的符號.
【解答】解:∵拋物線的開口向上,
∴a>0,
∵對稱軸在y軸的右側,
∴b<0,
∴ab<0,故①錯誤;
∵拋物線和y軸的負半軸相交,
∴c<0,
∴abc>0,故②正確;
∵拋物線與x軸有兩個交點,
∴b2﹣4ac>0,
∴<1,故③正確;
故選C.
9.如圖,已知⊙O為四邊形ABCD的外接圓,O為圓心,若∠BCD=120°,AB=AD=2,則⊙O的半徑長為( )
A.????????????? B.
????????????? C.
????????????? D.
【考點】M6:圓內接四邊形的性質.
【分析】連接BD,作OE⊥AD,連接OD,先由圓內接四邊形的性質求出∠BAD的度數,再由AD=AB可得出△ABD是等邊三角形,則DE=AD,∠ODE=
∠ADB=30°,根據銳角三角函數的定義即可得出結
論.
【解答(2017黃石市數學試題)】解:連接BD,作OE⊥AD,連接OD,
∵⊙O為四邊形ABCD的外接圓,∠BCD=120°,
∴∠BAD=60°.
∵AD=AB=2,
∴△ABD是等邊三角形.
∴DE=AD=1,∠ODE=
∠ADB=30°,
∴OD==
.
故選D.
10.如圖,已知凸五邊形ABCDE的邊長均相等,且∠DBE=∠ABE+∠CBD,AC=1,則BD必定滿足( )
A.BD<2????????????? B.BD=2
C.BD>2????????????? D.以上情況均有可能
【考點】L7:平行四邊形的判定與性質;KM:等邊三角形的判定與性質.[來源:Z.xx.k.Com]
【分析】先根據等腰三角形的底角相等,得出∠AED+∠CDE=180°,判定AE∥CD,再根據一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形,得出△ABC是等邊三角形.
【解答】(2017黃石市數學試題)證明:∵AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB,同理∠CBD=∠CDB
∵∠ABC=2∠DBE,
∴∠ABE+∠CBD=∠DBE,
∵∠ABE=∠AEB,∠CBD=∠CDB,
∴∠AEB+∠CDB=∠DBE,
∴∠AED+∠CDE=180°,
∴AE∥CD,
∵AE=CD,
∴四邊形AEDC為平行四邊形.
∴DE=AC=AB=BC.
∴△ABC是等邊三角形,
∴BC=CD=1,
在△BCD中,∵BD<BC+CD,
∴BD<2.
故選A.
二、填空題
11.因式分解:x2y﹣4y= y(x﹣2)(x+2) .
【考點】55:提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】首先提取公因式y,再利用平方差公式分解因式即可.
【解答】解:x2y﹣4y=y(x2﹣4)=y(x﹣2)(x+2).
故答案為:y(x﹣2)(x+2).
12.分式方程=
﹣2的解為 x=
.
【考點】B3:解分式方程.
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經檢驗即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:2x=3﹣4x+4,
解得:x=,
經檢驗x=是分式方程的解,
故答案為:x=
13.如圖,已知扇形OAB的圓心角為60°,扇形的面積為6π,則該扇形的弧長為 3π .
【考點】MO:扇形面積的計算;MN:弧長的計算.
【分析】首先根據扇形的面積公式求得扇形的半徑,然后根據扇形的面積公式S扇形=lR(其中l為扇形的弧長),求得扇形的弧長.
【解答】解:設扇形的半徑是R,則=6π,
解得:r=6,
設扇形的弧長是l,則lr=6π,即3l=6π,
解得:l=3π.
故答案是:3π.
14.(2017黃石市數學試題)如圖所示,為了測量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度,一測量人員在該建筑物附近C處,測得建筑物頂端A處的仰角大小為45°,隨后沿直線BC向前走了100米后到達D處,在D處測得A處的仰角大小為30°,則建筑物AB的高度約為 137 米.
(注:不計測量人員的身高,結果按四舍五入保留整數,參考數據:≈1.41,
≈1.73)
【考點】TA:解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題.
【分析】設AB=x米,由∠ACB=45°得BC=AB=x、BD=BC+CD=x+100,根據tan∠ADB=可得關于x的方程,解之可得答案.
【解答】解:設AB=x米,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,
∴BC=AB=x米,
則BD=BC+CD=x+100(米),
在Rt△ABD中,∵∠ADB=30°,
∴tan∠ADB==
,即
=
,
解得:x=50+50≈137,
即建筑物AB的高度約為137米[來源:學+科+網Z+X+X+K]
故答案為:137.
15.甲、乙兩位同學各拋擲一枚質地均勻的骰子,他們拋擲的點數分別記為a、b,則a+b=9的概率為 .
【考點】(2017黃石市數學試題)X6:列表法與樹狀圖法.
【分析】利用列表法即可解決問題.
【解答】解:甲、乙兩位同學各拋擲一枚質地均勻的骰子,所有可能的結果是:
滿足a+b=9的有4種可能,
∴a+b=9的概率為=
,
故答案為.
16.觀察下列格式:
=1﹣
=
+
=1﹣
+
﹣
=
+
+
=1﹣
+
﹣
+
﹣
=
…
請按上述規律,寫出第n個式子的計算結果(n為正整數) .(寫出最簡計算結果即可)
【考點】37:規律型:數字的變化類.
【分析】根據上述各式的規律即可求出第n個式子的計算結果.
【解答】(2017黃石市數學試題)解:n=1時,結果為: =
;
n=2時,結果為: =
;
n=3時,結果為:
所以第n個式子的結果為:
故答案為:
三、解答題
17.計算:(﹣2)3++10+|﹣3+
|.
【考點】2C:實數的運算;6E:零指數冪.
【分析】原式利用乘方的意義,算術平方根定義,零指數冪法則,以及絕對值的代數意義化簡,計算即可得到結果.
【解答】解:原式=﹣8+4+1+3﹣=﹣
.
18.先化簡,再求值:(﹣
)÷
,其中a=2sin60°﹣tan45°.
【考點】6D:分式的化簡求值;T5:特殊角的三角函數值.
【分析】將原式括號內通分、將除法轉化為乘法,再計算減法,最后約分即可化簡原式,根據特殊銳角三角函數值求得a的值,代入即可.
【解答】解:原式=[﹣
]?(a﹣1)
=?(a﹣1)
=
當a=2sin60°﹣tan45°=2×﹣1=
﹣1時,
原式==
.
19.已知關于x的不等式組恰好有兩個整數解,求實數a的取值范圍.
【考點】CC:一元一次不等式組的整數解.
【分析】首先解不等式組求得解集,然后根據不等式組只有兩個整數解,確定整數解,則可以得到一個關于a的不等式組求得a的范圍.
【解答】解:解5x+1>3(x﹣1)得:x>﹣2,
解x≤8﹣
x+2a得:x≤4+a.
則不等式組的解集是:﹣2<x≤4+a.
不等式組只有兩個整數解,是﹣1和0.
根據題意得:0≤4+a<1.
解得:﹣4≤a<﹣3.
20.已知關于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0
(1)求證:該方程有兩個不等的實根;
(2)若該方程的兩個實數根x1、x2滿足x1+2x2=9,求m的值.
【考點】AB:根與系數的關系;AA:根的判別式.
【分析】(1)根據方程的系數結合根的判別式,可得出△=16+4m2>0,由此可證出該方程有兩個不等的實根;
(2)根據根與系數的關系可得x1+x2=4①、x1?x2=﹣m2②,結合x1+2x2=9③,可求出x1、x2的值,將其代入②中即可求出m的值.
【解答】(1)證明:∵在方程x2﹣4x﹣m2=0中,△=(﹣4)2﹣4×1×(﹣m2)=16+4m2>0,
∴該方程有兩個不等的實根;
(2)解:∵該方程的兩個實數根分別為x1、x2,
∴x1+x2=4①,x1?x2=﹣m2②.
∵x1+2x2=9③,
∴聯立①③解之,得:x1=﹣1,x2=5,
∴x1?x2=﹣5=﹣m2,
解得:m=±.
21.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BC為⊙O的直徑,點E為△ABC的內心,連接AE并延長交⊙O于D點,連接BD并延長至F,使得BD=DF,連接CF、BE.
(1)求證:DB=DE;
(2)求證:直線CF為⊙O的切線.
【考點】MI:三角形的內切圓與內心;MD:切線的判定.
【分析】(1)欲證明DB=DE,只要證明∠DBE=∠DEB;
(2)欲證明直線CF為⊙O的切線,只要證明BC⊥CF即可;
【解答】(1)證明:∵E是△ABC的內心,
∴∠BAE=∠CAE,∠EBA=∠EBC,
∵∠BED=∠BAE+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠DBC,∠DBC=∠EAC,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE.
(2)連接CD.
∵DA平分∠BAC,
∴∠DAB=∠DAC,
∴=
,
∴BD=CD,
∵BD=DF,
∴CD=DB=DF,
∴∠BCF=90°,
∴BC⊥CF,
∴CF是⊙O的切線.
22.(2017黃石市數學試題)隨著社會的發展,私家車變得越來越普及,使用節能低油耗汽車,對環保有著非常積極的意義,某市有關部門對本市的某一型號的若干輛汽車,進行了一項油耗抽樣實驗:即在同一條件下,被抽樣的該型號汽車,在油耗1L的情況下,所行駛的路程(單位:km)進行統計分析,結果如圖所示:
(注:記A為12~12.5,B為12.5~13,C為13~13.5,D為13.5~14,E為14~14.5)
請依據統計結果回答以下問題:
(1)試求進行該試驗的車輛數;
(2)請補全頻數分布直方圖;
(3)若該市有這種型號的汽車約900輛(不考慮其他因素),請利用上述統計數據初步預測,該市約有多少輛該型號的汽車,在耗油1L的情況下可以行駛13km以上?
【考點】V8:頻數(率)分布直方圖;V5:用樣本估計總體;VB:扇形統計圖.
【分析】(1)根據C所占的百分比以及頻數,即可得到進行該試驗的車輛數;
(2)根據B的百分比,計算得到B的頻數,進而得到D的頻數,據此補全頻數分布直方圖;
(3)根據C,D,E所占的百分比之和乘上該市這種型號的汽車的總數,即可得到結果.
【解答】解:(1)進行該試驗的車輛數為:9÷30%=30(輛),
(2)B:20%×30=6(輛),
D:30﹣2﹣6﹣9﹣4=9(輛),
補全頻數分布直方圖如下:
(3)900×=660(輛),
答:該市約有660輛該型號的汽車,在耗油1L的情況下可以行駛13km以上.
23.小明同學在一次社會實踐活動中,通過對某種蔬菜在1月份至7月份的市場行情進行統計分析后得出如下規律:
①該蔬菜的銷售價P(單位:元/千克)與時間x(單位:月份)滿足關系:P=9﹣x
②該蔬菜的平均成本y(單位:元/千克)與時間x(單位:月份)滿足二次函數關系y=ax2+bx+10,已知4月份的平均成本為2元/千克,6月份的平均成本為1元/千克.
(1)求該二次函數的解析式;
(2)請運用小明統計的結論,求出該蔬菜在第幾月份的平均利潤L(單位:元/千克)最大?最大平均利潤是多少?(注:平均利潤=銷售價﹣平均成本)
【考點】HE:二次函數的應用.
【分析】(1)將x=4、y=2和x=6、y=1代入y=ax2+bx+10,求得a、b即可;
(2)根據“平均利潤=銷售價﹣平均成本”列出函數解析式,配方成頂點式,利用二次函數的性質求解可得.
【解答】解:(1)將x=4、y=2和x=6、y=1代入y=ax2+bx+10,
得:,
解得:,
∴y=x2﹣3x+10;
(2)根據題意,知L=P﹣y=9﹣x﹣(x2﹣3x+10)=﹣
(x﹣4)2+3,
∴當x=4時,L取得最大值,最大值為3,
答:4月份的平均利潤L最大,最大平均利潤是3元/千克.
24.(2017黃石市數學試題)在現實生活中,我們會看到許多“標準”的矩形,如我們的課本封面、A4的打印紙等,其實這些矩形的長與寬之比都為:1,我們不妨就把這樣的矩形稱為“標準矩形”,在“標準矩形”ABCD中,P為DC邊上一定點,且CP=BC,如圖所示.
(1)如圖①,求證:BA=BP;
(2)如圖②,點Q在DC上,且DQ=CP,若G為BC邊上一動點,當△AGQ的周長最小時,求的值;
(3)如圖③,已知AD=1,在(2)的條件下,連接AG并延長交DC的延長線于點F,連接BF,T為BF的中點,M、N分別為線段PF與AB上的動點,且始終保持PM=BN,請證明:△MNT的面積S為定值,并求出這個定值.
【考點】SO:相似形綜合題.
【分析】(1)如圖①中,設AD=BC=a,則AB=CD=a.通過計算得出AB=BP=
a,由此即可證明;
(2)如圖②中,作Q關于BC的對稱點Q′,連接AQ′交BC于G,此時△AQG的周長最小.設AD=BC=QD=a,則AB=CD=a,可得CQ=CQ′=
a﹣a,由CQ′∥AB,推出
=
=
=
;
(3)如圖③中,作TH∥AB交NM于H,交BC于K.由S△MNT=?TH?CK+
?TH?BK=
HT?(KC+KB)=
HT?BC=
HT,利用梯形的中位線定理求出HT即可解決問題;
【解答】(1)證明:如圖①中,設AD=BC=a,則AB=CD=a.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,
∵PC=AD=BC=a,
∴PB==
a,
∴BA=BP.
(2)解:如圖②中,作Q關于BC的對稱點Q′,連接AQ′交BC于G,此時△AQG的周長最小.
設AD=BC=QD=a,則AB=CD=a,
∴CQ=CQ′=a﹣a,
∵CQ′∥AB,
∴=
=
=
.
(3)(2017黃石市數學試題)證明:如圖③中,作TH∥AB交NM于H,交BC于K.
由(2)可知,AD=BC=1,AB=CD=,DP=CF=
﹣1,
∵S△MNT=?TH?CK+
?TH?BK=
HT?(KC+KB)=
HT?BC=
HT,
∵TH∥AB∥FM,TF=TB,
∴HM=HN,
∴HT=(FM+BN),
∵BN=PM,
∴HT=(FM+PM)=
PF=
?(1+
﹣1)=
,
∴S△MNT=HT=
=定值.
25.如圖,直線l:y=kx+b(k<0)與函數y=(x>0)的圖象相交于A、C兩點,與x軸相交于T點,過A、C兩點作x軸的垂線,垂足分別為B、D,過A、C兩點作y軸的垂線,垂足分別為E、F;直線AE與CD相交于點P,連接DE,設A、C兩點的坐標分別為(a,
)、(c,
),其中a>c>0.
(1)如圖①,求證:∠EDP=∠ACP;
(2)如圖②,若A、D、E、C四點在同一圓上,求k的值;
(3)如圖③,已知c=1,且點P在直線BF上,試問:在線段AT上是否存在點M,使得OM⊥AM?請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【考點】GB:反比例函數綜合題.
【分析】(1)由P、E、D的坐標可表示出PA、EP、PC和DP的長,可證明△EPD∽△CPA,利用相似三角形的性質可證得結論;
(2)連接AD、EC,可證明△AEC≌△CDA,可得CD=AE,把A、C坐標代入直線l解析式,可求得k的值;
(3)假設在線段AT上存在點M,使得OM⊥AM,連接OM、OA,可表示出C、F、P、B的坐標,利用直線BF的解析式可求得a的值,可求得A點坐標,可求得T點坐標,在△OAT中,利用等積法可求得OM的長,在RtOMT中可求得MT的長,作MN⊥x軸,同理可求得MN的長,則可求得ON的長,可判斷N在線段BT上,滿足條件,從而可知存在滿足條件的M點.
【解答】(2017黃石市數學試題)(1)證明:
由題意可知P(c,),E(0,
),D(c,0),
∴PA=a﹣c,EP=c,PC=﹣
=
,DP=
,
∴=
=
,且∠EPD=∠APC,
∴△EPD∽△CPA,
∴∠EDP=∠ACP;
(2)解:如圖1,連接AD、EC,
由(1)可知DE∥AC,
∴∠DEC+∠ECA=180°,
∵A、D、E、C四點在同圓周上,
∴∠DEC+∠DAC=180°,
∴∠ECA=∠DAC,
在△AEC和△CDA中
∴△AEC≌△CDA(AAS),
∴CD=AE,即a=,可得ac=4,
∵A、C在直線l上,
∴,解得k=
=﹣
=﹣1;
(3)假設在線段AT上存在點M,使OM⊥AM,連接OM、OA,作MN⊥x軸于點N,如圖2,
∵c=1,
∴C(1,4),F(0,4),P(1,),B(a,0),
設直線BF的解析式為y=k′x+4,由題意可得,解得a=2,
∴A(2,2),
∴AP為△DCT的中位線,
∴T(3,0),
∴AT==
∵S△OAT=OT?AB=
AT?OM,
∴OM==
=
,
在Rt△OMT中,MT==
=
,
同理可求得MN==
,
在Rt△OMN中,ON==
=
,
∵2<<3,
∴點M在線段AT上,
即在線段AT上存在點M,使得OM⊥AM,M點的坐標為(,
).
2017年7月16日
孔乙己是貧困潦倒的知識分子。在書中,孔乙己是一個知識分子,滿口“之乎者也”,但是他很窮,還竊書,說過“讀書人的事,怎么能叫竊,”被人嘲笑,他...
自然界產生氧氣的化學方程式:光合作用的反應式為6CO2+12H2O→C6H12O6+6O2+6H2O。包括光反應和暗反應兩個過程。需要具備光...
有的高校沒有條件,只要學業水平成績都合格就可以,比如中國科學院大學。有的需要平常學習考試成績,比如北京外國語大學要求高三第一學期期末成績在全...
在四則運算中,表示計算順序,在小括號之后、大括號之前;表示兩個整數的最小公倍數;表示取未知數的整數部分;在函數中,表示函數的閉區間;在線性代...
濟南開設的最好的職高學校有:濟南方信集團職業高中、濟南公共交通職業高中。濟南市公共交通職業高級中學是由濟南市公共交通總公司承辦,業務屬濟南市...
實然:是說事物實際上就是這樣的,但不同于現實性(現實性指其有合理性和客觀性);應然:就是應該是怎么樣的意思,比如說這件事,就應該是那樣的結果...
地中海氣候一種夏季炎熱干燥、冬季溫和多雨,雨熱不同期的氣候類型。地中海氣候冬季受西風帶控制,鋒面氣旋頻繁活動,氣候溫和,最冷月的氣溫在4-1...
堿石灰,又稱鈉石灰,堿石灰是白色或米黃色粉末,疏松多孔,是氧化鈣(CaO,大約75%),水(H?O,大約20%),氫氧化鈉(NaOH,大約3...